Capítulo 2: Principios y Propiedades Físicas

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Principios y propiedades físicas

Traducido por: Francisco Castrillon (Colombia), Luis Camilo Suescún (Colombia), Claudia Patricia Arroyave (Colombia), Nelson Bernal (Colombia), Roberto Serna (Colombia)

Editado por: Mauricio Eduardo Flores (USA)

2.1 Ley de Darcy

El nacimiento de la hidrología subterránea como una ciencia cuantitativa podría haber ocurrido en 1856. En ese año un ingeniero hidráulico francés llamado Henry Darcy publicó un informe sobre el suministro de agua de la ciudad de Dijon, Francia. En el informe Darcy describe un experimento de laboratorio que llevo a cabo al analizar el flujo hídrico a través de una capa de arena. Los resultados de este experimento se pueden generalizar en la ley empírica que hoy lleva su nombre.

Consideremos un aparato experimental como se muestra en la Figura 2.1. Se ve un cilindro circular de sección transversal A, lleno con arena, cerrado herméticamente en cada extremo, e equipado con tubos de entrada y salida e un par de manómetros. Se introduce agua dentro del cilindro y se permite que fluya a través de él hasta el momento en que todos los poros están saturados con agua y flujo de entrada Q es igual al flujo de salida. Si establecemos una referencia arbitraria en elevación z = 0, las elevaciones de los manómetros están dadas por z1 y z2 y la altura de los niveles del fluido son h1 y h2. La distancia entre los manómetros es Δl.

Figura 2.1 Aparato experimental ilustrativo de la Ley de Darcy.

Vamos a definir v, la velocidad específica a través del cilindro, como

v = \frac{Q}{A} (2.1)

Si las dimensiones de Q son [L3/T] y las de A son [L2], v tiene las dimensiones de velocidad [L/T].

Los experimentos llevados a cabo por Darcy demostraron que v es directamente proporcional a h1h2 cuando Δl. se mantiene constante, e inversamente proporcional a Δl. cuando h1h2 se mantiene constante. Si definimos \Delta h = h_1 - h_2 (una convención de signos arbitrarios que se nos fijan bien en desarrollos posteriores), tenemos v \propto \Delta h y v \propto 1/\Delta l. La Ley de Darcy puede escribirse como

v = -K\frac{\Delta h}{\Delta l} (2.2)

o, de otra manera,

v = -K\frac{dh}{dl} (2.3)

En la Ecuación (2.3), h es llamado hidráulico y dh/dl es el gradiente hidráulico. K es una constante de proporcionalidad. Debe ser una propiedad del suelo en el cilindro y para mantener constante el gradiente hidráulico, la velocidad específica seguramente debería ser mayor para algunos suelos que para otros. En otras palabras, si dh/dl se mantiene constante, v \propto K. El parámetro K es conocido como la conductividad hidráulica. Tiene valores altos para gravas y arenas, y valores bajos para arcillas y la mayoría de rocas. Ya que ambos Δh. y Δl. tienen unidades de longitud [L], un análisis rápido de las dimensiones de la Ecuación (2.2) muestra que K tiene dimensiones de velocidad [L/T]. En la Sección 2.3, vamos a mostrar que K no solo es una función de la media, también del fluido que lo atraviesa.

Una forma alternativa de poder obtener la ley de Darcy es sustituyendo la Ecuación (2.1) en la Ecuación (2.3) se obtiene

Q = -K\frac{dh}{dl}A (2.4)

Esto a veces se compacta aún más en la forma

Q = KiA (2.5)

donde i es el gradiente hidráulico.

La Ley de Darcy es válida para flujos de agua subterránea en cualquier dirección en el espacio, con respecto a la Figura 2.1 y la Ecuación (2.3), si el gradiente hidráulico dh/dl y la conductividad hidráulica K se mantienen constantes, v es independiente del ángulo θ. Esto incluso es verdadero para valores θ mayores que 90° considerando que el flujo está siendo forzado hacia arriba a través del cilindro en contra de la gravedad.

Hemos observado que la velocidad específica v tiene las dimensiones de una velocidad, o flujo. Por esta razón se conoce a veces como la velocidad de Darcy o flujo de Darcy. La velocidad específica es un concepto macroscópico y se mide fácilmente. Debe ser diferenciada claramente de las velocidades microscópicas asociadas con las trayectorias actuales de partículas individuales de agua que pasan a través de los granos de arena (Figura 2.2). Las velocidades microscópicas son reales, pero probablemente son imposibles de medir. En el resto del capítulo vamos a trabajar exclusivamente con conceptos de flujo a escala microscópica. A pesar de sus dimensiones nos referiremos a v no como una velocidad; más bien el termino más correcto que se usa es, descarga específica.

Figura 2.2 Conceptos microscópicos y macroscópicos del flujo de agua subterránea.

Este último párrafo puede parecer inocuo, pero anuncia una decisión de gran importancia. Cuando decidimos analizar el flujo de agua subterránea con el enfoque Darciano, significa, en efecto, que vamos a reemplazar la agrupación actual de granos de arena (o partículas de arcilla o fragmentos de roca) que componen el medio poroso por una representación continua para la cual podemos definir los parámetros macroscópicos, tales como la conductividad hidráulica, y usar las leyes macroscópicas, como la Ley de Darcy, la cual macroscópicamente proporciona unas descripciones promedio del comportamiento microscópico. Esto es conceptualmente simple y un paso lógico a seguir, pero se basa en unos fundamentos nodulares teóricos. Bear (1972), en su texto avanzado sobre el flujo en medios porosos, habla sobre estos fundamentos en detalle. En la Sección 2.12, exploraremos más las interrelaciones entre las descripciones macroscópicas y microscópicas del flujo de agua subterránea.

La Ley de Darcy es una ley empírica. Sólo se basa en la evidencia experimental. Muchos intentos han sido hechos a la derivación de la Ley de Darcy a partir de las leyes fundamentales de la física, y Bear (1972) comento también en algún detalle sobre estos estudios. Los enfoques más exitosos intentan aplicar las ecuaciones Navier-Stokes, las cuales son ampliamente conocidas en el estudio de mecánica de fluidos, e el flujo de agua a través de los canales de poros de modelos conceptuales idealizados de medios porosos. Hubbert (1956) e Irmay (1958) al parecer fueron los primeros en intentar este ejercicio.

Este texto proveerá una amplia evidencia de la importancia fundamental de la Ley de Darcy en el análisis del flujo de agua subterránea, pero vale la pena aquí señalar que es igualmente importante en muchas otras aplicaciones de flujo en medios porosos. Se describe el flujo de humedad del suelo el cual es utilizado por los físicos del suelo, ingenieros agrícolas, y especialistas en mecánica de suelo. Se describe el flujo de petróleo y gas en las formaciones geológicas profundas y es usado para análisis de depósitos petrolíferos. Se utiliza por los ingenieros químicos para el diseño de filtros y los científicos de los materiales en el diseño de cerámica porosa. Incluso han sido utilizados por los bio-científicos para describir el flujo de fluidos corporales a través de las membranas porosas en el cuerpo.

La Ley de Darcy es una ley empírica de gran alcance y sus componentes merecen una cuidadosa atención. Las dos secciones siguientes tratan más detalladamente el significado físico del gradiente hidráulico h y la conductividad hidráulica K.

2.2 Columna de Agua y Potencial Hidráulico

Usualmente el análisis de un proceso físico que involucre flujo requiere la identificación de un gradiente potencial. Por ejemplo, es bien sabido que el calor fluye a través de solidos desde alta a más baja temperatura. Así mismo, la corriente eléctrica fluye a través de circuitos eléctricos de alto a más bajo voltaje. Para estos procesos, la temperatura y el voltaje son cantidades potenciales y las velocidades o los ritmos de flujo de calor y de electricidad son proporcionales a estos gradientes potenciales. Nuestro objetivo es establecer el gradiente potencial que controla el flujo de agua a través de un medio poroso.

Afortunadamente, esta pregunta ha sido cuidadosamente considerada por Hubbert en su clásico tratado sobre flujo de agua en el subsuelo (Hubbert, 1940). En la primera parte de esta sección revisaremos sus conceptos y derivaciones.

Análisis del Potencial Hidráulico de Hubbert

Hubbert (1940) define potencial como “una cantidad física que puede ser medida a cada punto en un sistema, cuyas propiedades son tales que el flujo siempre ocurre desde regiones en las cuales esta cantidad tiene valores altos hacia las regiones donde la cantidad tiene valores más bajos, sin importar su dirección en el espacio” (p. 74), En el experimento de Darcy (Figura 2.1) la columna de agua indicada por el nivel de agua en los manómetros podría aparecer de acuerdo con la definición anterior, sin embargo como Hubbert destaca, “para adoptarlo empíricamente, sin más investigación, sería como leer la longitud de la columna de mercurio en un termómetro sin saber que temperatura era la cantidad física indicada” (p. 795).

Dos obvias posibilidades para la cantidad potencial son elevación y presión de fluido. Si el aparato de Darcy (Figura 2.1) fuera acondicionado con el cilindro vertical θ = 0), seguramente habría flujo a través del cilindro (desde la máxima elevación a la más baja) en respuesta a la gravedad. De otro lado, si el cilindro se colocara en posición horizontal (θ = 90 °) la gravedad no ejercerá ningún efecto, el flujo seria presumiblemente inducido por el incremento de la presión en un extremo y su disminución en el otro. Individualmente, elevación y presión no son potenciales adecuadas, pero ciertamente podemos esperar que sean componentes de la cantidad potencial total.

No es sorpresa, para aquellos expuestos a conceptos de potencial en física elemental o mecánica de fluidos, que la mejor manera de investigar nuestro objetivo sea examinando las relaciones de energía durante el proceso de flujo. De hecho, la definición clásica de potencial, como es presentada por matemáticos y físicos, es en términos del trabajo hecho durante el proceso de flujo; así mismo, el trabajo realizado moviendo una unidad de masa entre dos puntos en un sistema de flujo, es una medida de la energía cedida por la unidad de masa.

El flujo de un fluido a través de un medio poroso es un proceso mecánico. Las fuerzas que llevan el fluido hacia delante deben sobrepasar las fuerzas de fricción entre el fluido en movimiento y los granos del medio poroso. Por lo tanto, el fluido es acompañado por una transformación irreversible de energía mecánica a energía térmica por medio del mecanismo de resistencia friccional. Por lo tanto, la dirección de flujo en el espacio debe apuntar lejos de regiones en las cuales la energía mecánica por unidad de masa de fluido es mayor y hacia regiones en las cuales esta cantidad es menor.

Ahora, la energía mecánica por unidad de masa en cualquier punto de un sistema de flujo puede ser definida como el trabajo requerido para mover una unidad de masa desde un estado estándar seleccionado arbitrariamente al punto en cuestión. Es claro que hemos descubierto una cantidad física que satisface ambos, la definición de potencial de Hubbert (en términos de la dirección de flujo) y la definición clásica (en términos del trabajo efectuado). El potencial hidráulico a través de un medio poroso, es por lo tanto la energía mecánica por unidad de masa de fluido.

Ahora solo resta relacionar esta cantidad con elevación y presión, términos que anticipamos anteriormente. Consideremos un estado estándar arbitrario (Figura 2.3) a una elevación z = 0 y presión p = p0, donde p0 es presión atmosférica. Una unidad de masa de fluido de densidad ρ0 ocupara un volumen V0, donde V0 = 1/ρ0. Queremos calcular el trabajo requerido para elevar la unidad de masa de fluido desde el estado estándar a algún punto P en el sistema de flujo el cual está a una elevación z y donde la presión de fluido es p. Aquí, una unidad de masa del fluido puede tener una densidad ρ y ocupar un volumen V = 1/ρ. Adicionalmente, consideraremos que el fluido tiene una velocidad v = 0 en el estado estándar y velocidad v en el punto P.

Figura 2.3 Datos para el cálculo de la energía mecánica por unidad de masa de fluido.

Hay tres componentes para calcular el trabajo. Primero, es el trabajo requerido para levantar la masa desde la elevación z = 0 a la elevación z:

w_1 = mgz (2.6)

Segundo, es el trabajo requerido para acelerar el fluido de la velocidad z = 0 a la velocidad v:

w_2 = \frac{mv^2}{2} (2.7)

Tercero, es el trabajo efectuado sobre el fluido para incrementar la presión del fluido de p = p0 a p:

w_3 = m \int^p_{p_0}\frac{V}{m}dp = m \int^p_{p_0}\frac{dp}{\rho} (2.8)

Si el fluido fluyera desde el punto P hacia un punto en el estado estándar, Ec. (2.6) representaría la perdida en energía potencial, Ec. (2.7) la perdida en energía cinética, y Ec. (2.8) la perdida en energía elástica, o trabajo p – V.

El potencial hidráulico Φ (la energía mecánica por unidad de masa) es la suma de w1, w2, y w3. Para una unidad de masa de fluido, m = 1 en Ecs. (2.6), (2.7) y (2.8), tenemos

\Phi = gz + \frac{v^2}{2}+\int^p_{p_0}\frac{dp}{\rho} (2.9)

Para flujo en medio poroso, las velocidades son extremadamente bajas, así que el segundo término puede ser casi siempre ignorado. Para flujos incompresibles (fluidos con una densidad constante, de tal forma que ρ no es una función de p), Ec. (2.9) puede ser simplificada aún más para dar

\Phi = gz + \frac{p-p_0}{\rho} (2.10)

Nuestras predicciones para los componentes más probables del potencial hidráulico ahora parecen correctas. El primer termino de Ec. (2.10) involucra la elevación z y el segundo término la presión de fluido p.

Pero, como se relacionan estos elementos con la columna de agua h? Si retornamos al manómetro de Darcy (Figura 2.4), a P la presión de fluido p esta dada por

p = \rho g\psi + p_0 (2.11)

donde ψ es la altura de la columna de líquido por encima de P y p0 es presión atmosférica o presión en condiciones estándar. En la Figura 2.4 y Ec. 2.11 es claro que

p = \rho g(h-z) + p_0 (2.12)

Figura 2.4 Columna de agua h, presión ψ, y elevación z en un manómetro de laboratorio.

Substituyendo Ec. (2.12) en Ec. (2.10) tenemos

\Phi = \frac{gz + [\rho g(h-z)+p_0]}{\rho} (2.13)

O cancelando términos,

\Phi = gh (2.14)

Nuestro largo ejercicio nos ha conducido a la más simple de las conclusiones. El potencial hidráulico Φ en cualquier punto P en un medio poroso es simplemente la columna de agua en dicho punto multiplicada por la aceleración ejercida por la gravedad. Como g es prácticamente constante en proximidades a la superficie terrestre, Φ y h son casi perfectamente correlacionales. Establecer una es conocer la otra. Por lo tanto, la columna de agua h es un potencial tan apropiado como lo es Φ. Para retomar la definición de Hubbert: es una cantidad física, puede ser medida, y el flujo siempre ocurre desde regiones donde h tiene valores altos hacia regiones donde tiene valores bajos. De hecho, considerando Ec. (2.14) se muestra que, si Φ el potencial hidráulico es energía por unidad de masa, h es energía por unidad de peso.

En hidrología del agua subterránea es común expresar la presión atmosférica p0 como igual a cero y el trabajo en presión de calibración (i.e., presiones por encima de la atmosférica). En este caso, Ecs. (2.10) y (2.14) se convierten en

\Phi = gz + \frac{p}{\rho} = gh (2.15)

Dividiendo por g, obtenemos

h = z + \frac{p}{\rho g} (2.16)

Expresando Ec. (2.11) en términos de presión de calibración obtenemos

p = \rho g \psi (2.17)

y Ec. (2.16) se convierte en

h = z + \psi (2.18)

La columna de agua h es pues la suma de dos componentes: la elevación del punto de medida, o la elevación de la columna de agua, z, y la presión de la columna ψ. Esta relación fundamental es básica para entender el flujo del agua subterránea. La Figura 2.4 describe esta relación en el manómetro de Darcy, la Figura 2.5 es de una medición de campo.

Aquellos familiares con la mecánica elemental de fluidos deben haber reconocido Ec. (2.9) como la ecuación de Bernoulli, la clásica formulación de la perdida de energía durante el flujo de fluidos. Algunos autores (Todd, 1959; Doménico, 1972) usan la ecuación de Bernoulli como el punto de partida para el desarrollo de los conceptos de potencial hidráulico y de la columna de agua.

Figura 2.5 Columna de agua h, su presión ψ, y elevación z para un piezómetro en el campo.

Si expresamos Ec. (2.9) en términos de columna de agua y usamos una notación simplificada, se convierte en

h_T = h+z + h_p + h_v (2.19)

Donde hz es la elevación de la columna de agua, hp su presión, y hv su velocidad. En nuestra notación inicial: hz = z, hp = ψ, and hv = v2/2g. El término hT se denomina columna total, y para el caso especial donde h0 = 0, es igual a la columna de agua h, y Ec. (2.18) es válida.

Dimensiones y unidades

Las dimensiones de los términos de la columna de agua h, ψ, y z son las de longitud [L]. Estos son generalmente expresados como “metros de agua” o “pies de agua”. La especificación “de agua” enfatiza que las medidas de la columna de agua dependen de la densidad del fluido por medio de la relación en Ec. (2.17). Asumiendo una presión igual de fluido p en el punto P de la Figura 2.5, la columna de agua h y su presión ψ tendrán diferentes valores, si el fluido en los poros de la formación geológica fuera aceite en lugar de agua. En este texto, donde siempre estaremos tratando con agua, ignoraremos el adjetivo y solo registraremos la columna de agua en metros.

Los otros términos presentados en esta sección; en el sistema SI, con su base [M][L][T], presión tiene dimensiones [M/LT2], densidad de masa tiene dimensiones [M/L3], y el potencial hidráulico, a partir de su definición, es energía por unidad de masa con dimensiones [L2/T2]. La Tabla 2.1 clarifica las dimensiones y unidades comunes para todos los parámetros importantes introducidos hasta el momento. Referirse al Apéndice I para resolver cualquier confusión. En este texto, usaremos unidades métricas del sistema SI, como sistema básico de unidades, pero la Tabla 2.1 incluye los equivalentes FPS. La Tabla A1.3 en el Apéndice I provee factores de conversión.

Tabla 2.1 Dimensiones y unidades Comunes de los Parámetros Básicos en Aguas Subterráneas*

Sistema Internacional** Pies-libras-segundos
SI Sistema*** FPS
Parámetros Símbolo Dimensión Unidades Dimensión Unidades
Columna de agua h [L] m [L] ft
Presión de la columna ψ [L] m [L] ft
Elevación de la columna z [L] m [L] ft
Presión de Fluido P [M/LT2] N/m2 ó Pa [F/L2] Lb/ft2
Potencial Hidráulico Φ [L2/LT2] m2/s2 [L2/T2] Ft2/s2
Densidad Masa ρ [M/L3] Kg/m3 ——– ——–
Densidad Peso \gamma ——– ——– [F/L3] Lb/ft3
Descarga Especifica v [L/T] m/s [L/T] ft/s
Conductividad Hidráulica K [L/T] m/s [L/T] Ft/s

*Ver también Tablas A1.1, A1.2 y A1.3, Apéndice I.
†Las dimensiones básicas son longitud [L], masa [M] y tiempo [T].
‡Las dimensiones básicas son longitud [L], fuerza [F] y tiempo [T].

Piezómetros y Piezómetros Enjambrados

El elemento básico para medición de la columna de agua es un tubo en el cual la elevación del nivel del agua puede ser determinada. En el laboratorio (Figura 2.4) el tubo es un manómetro; en el campo (Figura 2.5) el tubo se denomina piezómetro. Un piezómetro debe estar sellado a lo largo. Pero debe estar abierto al flujo del agua en el fondo y a la atmosfera en el extremo superior. La entrada del agua es por medio de una sección ranurada de la tubería u otra opción comercialmente disponible como pozo drenante. De cualquier forma, la entrada debe estar diseñada para permitir el ingreso del agua, pero no de los granos de arena o de las partículas de arcilla que conforman la formación geológica. Es necesario destacar que el punto de medida de un piezómetro se encuentra en su base, no al nivel de la superficie del fluido. Se podría comparar la función de un piezómetro con la de un termómetro. Es simplemente el instrumento, si así se le puede llamar, que se usa para determinar el valor de h en algún punto en un reservorio de agua subterránea. En años recientes, el simple tubo piezómetro ha sido reemplazado en algunas aplicaciones por diseños más complejos utilizando medidores de presión, aparatos neumáticos y componentes electrónicos.

Los piezómetros son instalados normalmente en grupos para ser utilizados en la determinación del flujo del agua subterránea. En la Figura 2.6 (a) tres piezómetros interceptan una formación geológica que contiene agua. Como un ejercicio, vale la pena remover los instrumentos que aparecen en la Figura 2.6 (b) y considerar solo los valores medidos. El flujo ocurre desde valores altos de h, en este caso de derecha a izquierda.

Figura 2.6 Determinación de los gradientes hidráulicos a partir de la instalación de piezómetros.

Si la distancia ente piezómetros fuera conocida, el gradiente hidráulico dh/dl se podría calcular; y si se conociera la conductividad hidráulica K de la formación geológica, la ley de Darcy se podría emplear para calcular la descarga especifica (o la velocidad de volumen de flujo a través de cualquier sección perpendicular a la dirección de flujo.

En ocasiones es el potencial vertical que es de interés. En tales casos un enjambre de piezómetros es utilizado, con dos o más piezómetros instalados uno al lado del otro en el mismo sitio (o posiblemente en el mismo agujero), cada uno con fondo a diferentes profundidades y de ser posible en formaciones geológicas diferentes. La Figura 2.6 (c) y (d) muestran un enjambre de piezómetros en una región de donde el agua subterránea fluye de forma ascendente.

La distribución de las columnas de agua en un sistema de agua subterránea es tridimensional en el espacio. Los agrupamientos de piezómetros mostrados en la Figura 2.6 prueban la existencia de componentes de flujo en las direcciones indicadas. Si un número mayor de piezómetros se pudiera distribuir a través del sistema hidrogeológico tridimensional, sería posible contornear la posición de columnas de agua equivalentes. En tres dimensiones la confluencia de dichos puntos forma una superficie equipotencial. En cualquier sección de dos dimensiones, horizontal, vertical o en otra dirección, las trazas de las superficies equipotenciales sobre la Sección son llamadas líneas equipotenciales. Si el patrón de las cargas hidráulicas es conocido en una sección, líneas de flujo pueden ser construidas perpendicular a las líneas equipotenciales (en la dirección del gradiente potencial máximo). El arreglo resultante de intersecciones de líneas equipotenciales con líneas de flujo se conoce como una red de flujo. El Capítulo 5 proveerá instrucciones detalladas sobre la construcción de redes de flujo, y el Capítulo 6 probará su uso en la interpretación del flujo regional de agua subterránea.

Flujo Acoplado

Existe ahora una considerable cantidad de evidencia teórica y experimental que demuestran que el agua puede ser inducida a fluir a través de un medio poroso bajo la influencia de gradientes diferentes a la columna de agua. Por ejemplo, la presencia de un gradiente de temperatura puede ocasionar el flujo de agua subterránea (así como el flujo de calor) aun cuando no exista gradiente hidráulico (Gurr et al., 1952; Philip y de Vries, 1957). Este comportamiento es relevante para la formación de cuñas de congelamiento en el suelo (Hoekstra, 1966; Harlan, 1973).

Un gradiente eléctrico puede crear un flujo de agua desde alto a bajo voltaje cuando corrientes terrestres son inducidas en el suelo. El mecanismo de flujo involucra una interacción entre iones cargados en el agua y la carga eléctrica asociada con minerales de arcilla en el suelo (Casagrande, 1952). En mecánica de suelos se emplea este principio para el drenaje de suelos (Terzaghi and Peck, 1967).

Gradientes químicos pueden causar flujo de agua (así como el movimiento de sus constituyentes químicos) desde regiones donde esta tiene alta salinidad hacia áreas de baja salinidad, aun en la ausencia de otros gradientes. El papel de los gradientes químicos en la producción del flujo de agua es relativamente irrelevante, pero su influencia directa sobre el movimiento de constituyentes químicos es de mayor importancia para el análisis de la contaminación del agua subterránea. Estos conceptos serán tratados en los Capítulos 3, 7, y 9.

Si cada uno de estos gradientes desempeña una función en la producción del flujo, una ley mas general que la expresada en Ec. (2.3) puede ser escrita de la siguiente forma

v = -L_1\frac{dh}{dl} - L_2\frac{dT}{dl} - L_3\frac{dc}{dl} (2.21)

donde h es la columna de agua, T es temperatura y c es la concentración química; L1, L2 y L3 son constantes de proporcionalidad. A manera de discusión, establezcamos que dc/dl = 0. Quedamos en una situación donde el flujo del fluido ocurre en respuesta a la columna de agua y al gradiente de temperatura:

v = -L_1\frac{dh}{dl} - L_2\frac{dT}{dl} (2.22)

En general, L1 dh/dl \gg dT/dl.

Si un gradiente de temperatura puede generar flujo de fluido a la vez que genera flujo de calor en un medio poroso, no es sorprendente descubrir que un gradiente hidráulico puede generar ambos, flujo de calor y flujo de fluido. Esta interdependencia mutua es una reflexión del bien conocido concepto en termodinámica de flujo acoplado. Si hacemos dh/dl = i1, y dT/dl = i2, podemos escribir un par de ecuaciones derivadas de Ec. (2.22):

v_1 = -L_{11}i_1 - L_{12}i_2 (2.23)

v_2 = -L_{21}i_1 - L_{22}i_2 (2.24)

donde v1, es la descarga específica del fluido a través del medio y v2 es la descarga especifica de calor a través del medio. Los términos L son conocidos como coeficientes fenomenológicos. Si L12 = 0 en Ec. (2.23), resulta en la ley de Darcy para flujo de agua subterránea y L11 = 0 es la conductividad hidráulica. Si L21 = 0 en Ec. (2.24), resultaría en la ley de Fourier de flujo de calor y L22 es la conductividad térmica.

Es posible escribir un arreglo completo de ecuaciones acopladas. Este arreglo tendría la forma de Ec. (2.23) pero involucraría todos los gradientes de Ec. (2.21) y talvez otros. El desarrollo de la teoría de flujos acoplados en medio poroso fue llevado a cabo originalmente por Taylor y Cary (1964). Olsed (1969) ha llevado a cabo significativa investigación experimental. Bear (1972) provee un desarrollo más detallado del concepto de lo que se puede discutir aquí. La descripción termodinámica de la física del flujo en un medio poroso es conceptualmente poderosa, pero en la práctica existen muy pocos datos sobre la naturaleza de los coeficientes fuera de la diagonal en la matriz de coeficientes fenomenológicos Lij. En este texto asumiremos que el flujo de agua subterránea está completamente descrito por la ley de Darcy [Ec. (2.3)]; que la columna de agua [Ec. (2.18)], con sus componentes de elevación y presión, es la representación adecuada de la columna total; y que la conductividad hidráulica es el único coeficiente de importancia fenomenológica en Ec. (2.21).

2.3 Conductividad Hidráulica y Permeabilidad

Como enfatizó Hubbert (1956), la constante de proporcionalidad de Darcy, que ha sido bautizada como conductividad hidráulica, es una función no solo del medio poroso sino también del fluido. Consideremos de nuevo el aparato experimental de la Figura 2.1. Si Δh. y Δl. son constantes durante dos ensayos usando la misma arena, pero agua es el fluido en el primer ensayo y melaza en el segundo, encontraríamos sin sorpresa que la descarga especifica v seria más baja en el segundo ensayo que en el primero. Con base en esta observación, seria instructivo buscar un parámetro que pudiera describir las propiedades conductivas de un medio poroso independientemente del fluido que lo atraviese.

Con este fin se han hecho experimentos con medios porosos ideales consistentes en esferas de vidrio de tamaño uniforme y diámetro d. Cuando varios fluidos de densidad ρ y viscosidad dinámica μ son enviados al aparato bajo un gradiente hidráulico constante dh/dl, la siguiente relación de proporcionalidad son observadas:

v \propto d^2

v \propto \rho g

v \propto \frac{1}{\mu}

Conjuntamente con la observación original de Darcy que v \propto - dh/dl, estas tres relaciones conducen a una nueva versión de la ley de Darcy:

v = -\frac{Cd^2\rho g}{\mu}\frac{dh}{dl} (2.25)

El parámetro C es otra constante de proporcionalidad. En el caso de suelos reales esta constante debe incluir la influencia de otras propiedades del medio que afectan el flujo, diferentes a la media del diámetro de grano: por ejemplo, la distribución de los tamaños de grano, la esfericidad y redondez de los granos, y la naturaleza de su empaquetado.

La comparación de Ec. (2.25) con la ecuación original de Darcy [Ec. (2.3)] demuestra que

K = \frac{Cd^2\rho g}{\mu} (2.26)

En esta ecuación, ρ y μ son funciones del fluido mismo y Cd2 es una función del medio mismo. Si definimos

k = Cd^2 (2.27)

entonces

K = \frac{k\rho g}{\mu} (2.28)

El parámetro k es conocido como la permeabilidad especifica o intrínseca. Si K se llamara siempre conductividad hidráulica, se podría también remover el adjetivo y simplemente referirse a k como permeabilidad. Esa es la convención que se seguirá en este texto, pero puede generar cierta confusión, especialmente cuando se refiere a textos más antiguos y reportes donde la conductividad hidráulica K es a veces llamada coeficiente de permeabilidad.

Hubbert (1940) desarrollo las ecuaciones (2.25) a (2.28) a partir de principios fundamentales considerando las relaciones entre fuerzo motriz y fuerzas de resistencia a una escala microscópica durante el flujo a través de un medio poroso. Las consideraciones dimensionales inherentes en este análisis, nos proveyó con la intuición para incluir g en la relación de proporcionalidad, conduciendo esto a la Ecuación (2.25). De esta forma, C emerge como una constante sin dimensiones.

La permeabilidad k es una función del medio y tiene dimensiones [L2]. Este término es ampliamente usado en la industria del petróleo, donde la existencia de gas y agua en sistemas de flujo de múltiples faces hace atractivo el uso de un parámetro de conductancia que sea independiente del fluido. Cuando se mide k en m2 o cm2, esta resulta en un valor sumamente pequeño, así que los ingenieros de petróleo han definido el darcy como una unidad de permeabilidad. Si se substituye la Ecuación (2.28) en la Ecuación (2.3), la ley de Darcy se convierte en

v = \frac{-k\rho g}{\mu}\frac{dh}{dl} (2.29)

Refiriéndose a esta ecuación, 1 darcy se define como la permeabilidad que producirá una descarga especifica de 1 cm/s de un fluido con una viscosidad de 1 cp bajo un gradiente hidráulico que hará el término ρg dh/dl igual a 1 atm/cm. Un Darcy es aproximadamente igual a 10-8 cm2.

En la industria de pozos de agua, la unidad gal/day/ft2 es ampliamente usada para la conductividad hidráulica. La relevancia de esta unidad es más clara cuando la ley de Darcy se expresa en términos de la Ecuación (2.4):

Las definiciones anteriormente aportadas por el Servicio Geológico de Los Estados Unidos con relación a esta unidad, diferencian entre coeficientes de laboratorio y coeficientes de campo. Sin embargo, una actualización reciente de estas definiciones (Lohman, 1972) ha descartado esta diferenciación formal. Es suficiente anotar que las diferencias en temperatura de medida en el ambiente de laboratorio y en el de campo, pueden influenciar valores de conductividad hidráulica por medio del termino de viscosidad en la Ecuación (2.28). Este efecto es normalmente pequeño y factores de corrección son empleados rara vez. Sin embargo, tiene sentido reportar si la conductividad hidráulica ha sido medida en el laboratorio o en el campo, ya que los métodos de medición son muy diferentes y las interpretaciones basadas en estos valores pueden depender del tipo de medición. A pesar de todo, esta información es de relevancia practica más que conceptual.

La Tabla 2.2 muestra las distribuciones de valores de conductividad hidráulica y permeabilidad en cinco sistemas diferentes de unidades para varios tipos de materiales geológicos. La tabla se basa en parte los datos compilados de la revisión de Davis (1969). La primera conclusión que se puede obtener de estos datos es la gran variación de la conductividad hidráulica. Hay muy pocos parámetros físicos con una variación de 13 órdenes de magnitud. En términos prácticos, esta propiedad implica que establecer un orden de magnitud en la conductividad hidráulica puede ser muy útil. Contrariamente, el tercer lugar decimal reportado en un valor de conductividad hidráulica probablemente tiene poca significancia.

La Tabla 2.3 muestra una serie de factores de conversión para varias unidades comunes de k y K, Como un ejemplo de su uso, note que un valor de k en cm2 puede ser convertido a uno en ft2 multiplicando por 1.08 × 10-3. Para la conversión opuesta de ft2 a cm2, multiplicar por 9.29 × 102.

Varios métodos para la medición de la conductividad hidráulica en el laboratorio y en el campo son descritos de la Sección 8.4 a la Sección 8.6.

Tabla 2.2. Distribución de valores de conductividad Hidráulica y Permeabilidad

Tabla 2.3. Factores de conversión para Unidades de Permeabilidad y Conductividad Hidráulica

Permeability, k* Conductividad hidráulica, K
cm2 ft2 darcy m/s ft/s U.S. gal/día/ft2
cm2 1 1.08 × 10–3 1.01 × 108 9.80 × 102 3.22 × 102 1.85 × 109
ft2 9.29 × 102 1 9.42 × 1010 9.11 × 105 2.99 × 106 1.71 × 1012
darcy 9.87 × 10–9 1.06 × 10–11 1 9.66 × 10–6 3.17 × 10–5 1.82 × 101
m/s 1.02 × 10–3 1.10 × 10–6 1.04 × 105 1 3.28 2.12 × 106
ft/s 3.11 × 10–4 3.35 × 10–7 3.15 × 104 3.05 × 10–1 1 6.46 × 105
U.S. gal/day/ft2 5.42 × 10–10 5.83 × 10–13 5.49 × 10–2 4.72 × 10–7 1.55 × 10–6 1

*Para obtener k en ft2, multiplicar k en cm2 por 1.08 × 10-3.

2.4 Heterogeneidad y Anisotropía de la Conductividad Hidráulica

Generalmente los valores de conductividad hidráulica varían espacialmente dentro de una formación geológica. También pueden mostrar variaciones con la dirección de medición en un momento dado en una formación geológica. La primera propiedad se denomina heterogeneidad y segunda anisotropía. La evidencia de que estas propiedades son frecuentes se encuentra en la distribución de las medidas que resultan de la mayoría de los programas de muestreo de campo. El razonamiento geológico responsable de su prevalencia se encuentra en la comprensión de los procesos geológicos que producen los diferentes ambientes geológicos.

Homogeneidad y Heterogeneidad

Si la conductividad hidráulica K es independiente de la posición dentro de una formación geológica, la formación es homogénea. Si la conductividad hidráulica K depende de la posición dentro de una formación geológica, la formación es heterogénea. Si establecemos un xyz: sistema de coordenadas xyz en una formación homogénea, K(x, y, z) = C, C es una constante; mientras que, en una formación heterogénea, K(x, y, z) ≠ C.

Hay probablemente tantos tipos de configuraciones heterogéneas como hay ambientes geológicos, pero puede ser instructivo para llamar la atención sobre tres grandes clases. La Figura 2.7 (a) es una sección vertical que muestra un ejemplo de heterogeneidad de capas, común en rocas sedimentarias y depósitos lacustres y marinos no consolidados. Aquí, las capas individuales que componen la formación tienen un valor de conductividad homogénea K1, K2, . . . , pero todo el sistema puede ser considerado como heterogéneo. La heterogeneidad en capas puede resultar en K contrastes de K casi 13-ordenes de magnitud (Tabla 2.2), como, por ejemplo, depósitos intercalados de arcilla y arena. Igualmente pueden surgir grandes contrastes en casos de heterogeneidad discontinua causada por la presencia de defectos o características estratigráficas a gran escala. Quizá el más ubicuo discontinuo es el contacto entre la roca y el material reciente.

Hay probablemente tantos tipos de configuraciones heterogéneas como hay ambientes geológicos, pero puede ser instructivo llamar la atención sobre tres grandes clases. La Figura 2.7 (a) es una sección vertical que muestra un ejemplo de heterogeneidad de capas, común en rocas sedimentarias y depósitos lacustres y marinos no consolidados. Aquí, las capas individuales que componen la formación tienen un valor de conductividad homogénea K1, K2, . . . , pero todo el sistema puede ser considerado como heterogéneo. La heterogeneidad en capas puede resultar en contrastes de K de casi 13-ordenes de magnitud (Tabla 2.2), como, por ejemplo, depósitos intercalados de arcilla y arena. Igualmente pueden surgir grandes contrastes en casos de heterogeneidad discontinua causada por la presencia de defectos o características estratigráficas a gran escala. Quizá el más ubicuo discontinuo es el contacto entre la roca y el material reciente. La Figura 2.7 (b) es un mapa que muestra un caso de la tendencia de la heterogeneidad. Las tendencias son posibles en cualquier tipo de formación geológica, pero son particularmente comunes en respuesta a los procesos de sedimentación que crean deltas, abanicos aluviales y llanuras de lavado glacial. Los horizontes A, B y C del suelo a menudo muestran tendencias verticales en la conductividad hidráulica, así como tipos de rocas cuya conductividad depende sobre todo de la concentración de diaclasas y fracturas. Heterogeneidad de tendencias en formaciones sedimentarias consolidadas o no consolidadas gruesas pueden alcanzar gradientes de 2-3 órdenes de magnitud en unas pocas millas.

Muchos hidrogeólogos y geólogos del petróleo han utilizado distribuciones estadísticas para proporcionar una descripción cuantitativa del grado de heterogeneidad en una formación geológica. Por ello hay una evidencia directa amplia que apoya la afirmación de que la función de densidad de probabilidad para la conductividad hidráulica es log-normal. Warren y Price (1961), y Bennion y Griffiths (1966) encontraron este tipo de casos en rocas de yacimientos de petróleo, y Willardson y Hurst (1965) y Davis (1969) apoyan la conclusión de formaciones acuíferas no consolidadas. Una distribución log-normal para K es tal que el parámetro Y, se define como Y = log K, y muestra una distribución normal. Freeze (1975) proporciona una tabla, basada en las referencias anteriores, que muestra la desviación estándar de Y (que es independiente de las unidades de medida) está generalmente entre 0.5-1.5. Esto significa que valores de K en la mayoría de formaciones geológicas muestran variaciones heterogéneas internas de 1-2 órdenes de magnitud. Heterogeneidad de tendencia dentro de una formación geológica puede considerarse como una tendencia en el valor medio de la distribución de probabilidad. La misma desviación estándar puede ser evidente en las mediciones en diversas posiciones en la formación, pero la tendencia media lleva a un aumento en rango total observado para la formación.

Figura 2.7 Heterogeneidad de capas y Heterogeneidad de tendencia.

Greenkorn y Kessler (1969) han proporcionado un conjunto de definiciones de heterogeneidad que son consistentes con las observaciones estadísticas. En efecto, sostienen que, si todas las formaciones geológicas muestran variaciones espaciales en K, entonces bajo las definiciones clásicas, no hay tal formación homogénea. Ellos redefinen una formación homogénea como una en la que la función de densidad de probabilidad de la conductividad hidráulica es monomodal. Es decir, que muestra variaciones en K, pero mantiene un promedio constante K espacialmente. Una formación heterogénea se define como una en la que la función de densidad de probabilidad es multimodal. Para describir un medio poroso que satisface la definición clásica de homogeneidad (constante K en todo lado, como las capas de vidrio experimental de diámetro d) ellos utilizan el término uniforme. Si queremos adaptar las definiciones clásicas dadas al principio de esta sección a este grupo de conceptos más racional, podemos hacerlo añadiendo el adjetivo “medio” y ajustando la definición original a conductividad hidráulica media.

Isotropia y Anisotropia

Si la conductividad hidráulica K es independiente de la dirección de medición en un punto en una formación geológica, la formación es isotrópica en ese punto. Si la conductividad hidráulica K varía con la dirección de la medición en un punto en una formación geológica, la formación es anisotrópica en ese punto.

Considere una sección vertical bidimensional a través de una formación anisotrópica. Si dejamos que θ sea el ángulo entre la horizontal y la dirección de la medida de un valor de K en algún momento de la formación, entonces K = K(θ). Las direcciones en el espacio correspondiente al ángulo θ en que K alcanza sus valores máximos y mínimos se conocen como las direcciones principales de anisotropía. Ellas son siempre perpendiculares una a la otra. En tres dimensiones, si se toma un plano perpendicular a una de las direcciones principales, las otras dos direcciones principales son las máximas y mínimas de ese plano.

Si se configura un sistema de coordenadas xyz de tal manera que las direcciones coordenadas coinciden con las direcciones principales de anisotropía, se pueden especificar los valores de conductividad hidráulica en las direcciones principales como Kx, Ky, Kz. En cualquier punto (x, y, z), una formación isotrópica tendrá Kx = Ky = Kz, mientras que una formación anisotrópica tendrá KxKyKz. Si KxKyKz, la cual es común en depósitos sedimentarios con capas horizontales, la formación se dice que es transversalmente isotrópica.

Para describir completamente la naturaleza de la conductividad hidráulica en una formación geológica, es necesario utilizar dos adjetivos, uno relacionado con la heterogeneidad y una con anisotropía. Por ejemplo, para un sistema homogéneo, isotrópico en dos dimensiones: Kx(x, z) = Kz(x, z) = C para todo (x, z), donde C es una constante. Para un sistema homogéneo y anisotrópico, Kx(x, z) = C1 para todo (x, z) y Kz(x, z) = C2 para todo (x, z) pero C1C2. La Figura 2.8 intenta aclarar aún más las cuatro combinaciones posibles. La longitud de los vectores de la flecha es proporcional a los valores de Kx y Kz, en los dos puntos (x1, z1) y (x2, z2).

La causa principal de anisotropía en pequeña escala es la orientación de minerales de la arcilla en rocas sedimentarias y sedimentos no consolidados. Muestras de arcillas y lutitas rara vez muestran anisotropía vertical horizontal mayores que 10:1, y es generalmente menos de 3:1.

En una escala mayor, puede ser demostrado (Maasland, 1957; Marcus y Evenson, 1961) que existe una relación entre niveles de heterogeneidad y anisotropía. Considere la formación de capas que se muestra en la Figura 2.9. Cada capa es homogéneo e isotrópico con conductividad hidráulica valores K1, K2, . . . , Kn. Vamos a demostrar que el sistema en su forma entera actúa como una capa homogénea e anisotrópica. En primer lugar, considere el flujo perpendicular a la estratificación.

Figura 2.8 Cuatro combinaciones posibles de heterogeneidad y anisotropía.
Figura 2.9 Relación entre heterogeneidad de capas y anisotropía.

La descarga específica v que entra al sistema debe ser la misma que sale de este. De hecho, debe ser constante en todo el sistema. Supongamos que Δh1 es la pérdida de carga a través de la primera capa, Δh2 a través de la segunda capa y así sucesivamente. La pérdida de carga total es entonces Δh = Δh1 + Δh2 + . . . + Δhn, y de la ley de Darcy,

v = \frac{K_1\Delta h_1}{d_1} = \frac{K_2\Delta h_2}{d_2} = ... = \frac{K_n\Delta h_n}{d_n} = \frac{K_z\Delta h}{d} (2.30)

donde Kz es una conductividad hidráulica vertical equivalente para el sistema de capas. Resolviendo la relación fuera de la Ecuación (2.30) para Kz y usando las relaciones interiores para Δh1, Δh2, . . . , obtenemos

K_z = \frac{vd}{\Delta h} = \frac{vd}{\Delta h_1 + \Delta h_2 + ... \Delta h_n} = \frac{vd}{\frac{vd_1}{K_1}+\frac{vd_2}{K_2}+...+\frac{vd_n}{K_n}} = \frac{vd}{vd_1/K_1+vd_2/K_2+...+vd_n/K_n}

la cual lleva a

K_z = \frac{d}{\sum_{i=1}^n\frac{d_i}{K_i}} (2.31)

Ahora consideremos el flujo en forma paralela a la estratificación. Que Δh. sea la pérdida de carga a una distancia horizontal l. La descarga Q como unidad de espesor del sistema es la suma de las descargas a través de las capas. La descarga específica v = Q/d por lo tanto está dada por la ecuación

v = \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{K_id_i}{d}\frac{\Delta h}{l} = K_x\frac{\Delta h}{l}

donde Kx, es una conductividad hidráulica horizontal equivalente. La simplificación da

K_x = \sum_{i=1}^n\frac{K_id_i}{d} (2.32)

Ecuaciones (2.31) y (2.32) proporcionan los valores de Kx y Kz, para una sola formación homogénea pero anisotrópica hidráulicamente equivalente al sistema estratificado de formaciones geológicas homogéneas e isotrópicas de la Figura 2.9. Con algunas manipulaciones algebraicas de estas dos ecuaciones es posible mostrar que Kx > Kz para todos los posibles conjuntos de valores de K1, K2, . . . , Kn. De hecho, si consideramos un conjunto de parejas cíclicas K1, K2, K1, K2, . . . con K1 = 104 y K2 = 102 entonces Kx/Kz = 25. Para K1 = 104 and K2 = 1, Kx/Kz = 2500. En el campo, no es infrecuente que la heterogeneidad de capas conduzca a valores de anisotropía regional del orden de 100:1 o incluso mayores.

Snow (1969) demostró que las rocas fracturadas también se comportan en forma anisotrópica debido a las variaciones direccionales en el espacio y la apertura de las diaclasas. En este caso, es muy común que Kz > Kx.

Ley de Darcy en Tres Dimensiones

Para el flujo tridimensional, en un medio que puede ser anisotrópico, es necesario generalizar la forma unidimensional de la ley de Darcy [Ec. (2.3)] presentada anteriormente. En tres dimensiones la velocidad v es un vector con componentes vx, vy, y vz y la generalización más simple sería

v_x =K_x\frac{\partial h}{\partial x}

v_y =K_y\frac{\partial h}{\partial y} (2.33)

v_z = K_z\frac{\partial h}{\partial z}

donde Kx, Ky, y Kz son los valores de conductividad hidráulica en la dirección x, y, y z. Ya que h es ahora una función de x, y, y z, las derivadas deben ser parciales.

En este texto se asume que esta generalización simple sea una descripción adecuada del flujo tridimensional, pero cabe destacar que un sistema generalizado de ecuaciones podría ser escrito en forma

v_x = -K_{xx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{xy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{xz}\frac{\partial h}{\partial z}

v_y = -K_{yx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{yy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{yz}\frac{\partial h}{\partial z} (2.34)

v_x = -K_{zx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{zy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{zz}\frac{\partial h}{\partial z}

Este conjunto de ecuaciones expone el hecho de que hay realmente nueve componentes de conductividad hidráulica en el caso más general. Si estos componentes se ponen en forma de matriz, forman un tensor simétrico de segundo rango conocido como el tensor de conductividad hidráulica (Bear, 1972). Para el caso especial Kxy = Kyx = Kyz = Kzx = Kzy = 0 los nueve componentes se reducen a tres y la Ecuación (2.33) es una generalización adecuada de la ley de Darcy. La condición necesaria y suficiente que permite el uso de la Ecuación (2.33) en lugar de la Ecuación (2.34) es que las direcciones principales de anisotropía coinciden con los ejes de coordenadas x, y, y z. En la mayoría de los casos es posible elegir un sistema de coordenadas que satisface este requisito, pero uno puede concebir sistemas heterogéneos anisótropos en que varían las direcciones principales de anisotropía de una formación a otra y en esos sistemas la elección adecuada de ejes sería imposible.

Elipsoide de Conductividad Hidráulica

Considere una línea arbitraria de flujo en el plano xz en un medio homogéneo e anisotrópico con conductividades hidráulicas principales Kx y Kz, [Figura 2.10 (a)].

Figura 2.10 (a) Descarga específica vs en una dirección arbitraria de flujo. (b) Elipse de conductividad hidráulica.

A lo largo de la línea de flujo:

v_s = - K_s\frac{\partial h}{\partial s} (2.35)

donde Ks, es desconocida, aunque probablemente yace en el rango KxKz, podemos separar vs, en sus componentes vx y vz, donde

v_x = -K_x\frac{\partial h}{\partial x} = v_s \cos \theta
(2.36)

v_z = -K_z\frac{\partial h}{\partial z} = v_s \sin \theta

Ahora, ya que h = h(x, z),

\frac{\partial h}{\partial s} = \frac{\partial h}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial h}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial s}(2.37)

Geométricamente, &partial;x/&partial;s = cos θ and &partial;z/&partial;s = sin θ. Sustituyendo estas relaciones junto con Ecs. (2.35) y (2.36) en la Ecuación (2.37), y simplificando resulta

\frac{1}{K_s} = \frac{\cos^2 \theta}{K_x} + \frac{\sin^2 \theta}{K_z} (2.38)

Esta ecuación relaciona los componentes principales de conductividad Kx y Kz a la K resultante, en cualquier dirección angular θ. Si ponemos la Ecuación (2.38) en coordenadas rectangulares estableciendo x = r cos θ y z = r sin θ, obtenemos

\frac{r^2}{K_s} = \frac{x^2}{K_x} + \frac{z^2}{K_z} (2.39)

la representa la ecuación de una elipse con ejes principales \sqrt{K_x} y \sqrt{K_z} [Figura 2.10 (b)]. En tres dimensiones, se convierte en un elipsoide con ejes principales \sqrt{K_x}, \sqrt{K_y} y \sqrt{K_z}, y es conocida como el elipsoide de la conductividad hidráulica. En la Figura 2.10 (b), el valor de la conductividad Ks, para cualquier dirección del flujo en un medio anisotrópico puede determinarse gráficamente si Kx y Kz, son conocidas.

En la Sección 5.1, se discutirá la construcción de redes de flujo en medios anisotrópico, y demostrara que, en contraste con los medios isótropos, en medios anisotrópicos, las líneas de flujo no son perpendiculares a las líneas equipotenciales.

2.5 Porosidad y relación de vacíos

Si el volumen total VT, de un suelo o roca es dividido entre el volumen de la porción solida Vs, y el volumen total de vacíos Vv, la porosidad n es definida como n = Vv/VT. Usualmente registrados como una fracción decimal o un porcentaje.

Figura 2.11 muestra la relación entre porosidad y texturas de varios suelos y rocas. Vale la pena distinguir entre porosidad primaria, la cual se debe a la matriz de la roca o suelo [Figura 2.11 (a), (b), (c), y (d)], y porosidad secundaria, la cual puede ser debida a fenómenos secundarios de solución [Figura 2.11 (e)] o estructuralmente a controles regionales de fracturamiento [Figura 2.11 (f)].

Figura 2.11 Relación entre porosidad y textura. (a) Depósito sedimentario bien seleccionado tiene alta porosidad; (b) depósito sedimentario pobremente seleccionado tiene baja porosidad; (c) depósito sedimentarios bien seleccionados compuestos de guijarros que son porosos, este depósito en su totalidad tiene una porosidad muy alta; (d) depósito sedimentario bien seleccionado cuya porosidad ha sido reducida por la depositación de minerales en los intersticios; (e) roca con porosidad debida a solución; (f) roca con porosidad debida a fracturamiento (después de Meinzer, 1923).

Tabla 2.4, en parte basada en datos resumidos por Davis (1969), es una lista de rangos de porosidad representativos de diferentes materiales geológicos. En general, las rocas tienen más bajas porosidades que los suelos, gravas, arenas y limos, que se componen de partículas redondeadas y angulares, tienen menos porosidades que suelos ricos en minerales arcillosos en forma de láminas; y depósitos pobremente seleccionados [Figura 2.11 (b)] tienen porosidades más bajas que depósitos bien seleccionados [Figura 2.11 (a)].

Tabla 2.4 Rangos de valores de porosidad

n (%)
Depósitos inconsolidados
Grava 25–40
Arena 25–50
Limo 35–50
Arcilla 40–70
Rocas
Basalto fracturado 5–50
Caliza kárstica 5–50
Arenita 5–30
Caliza, dolomita 0–20
Lutita 0–10
Roca cristalina fracturadak 0–10
Roca cristalina masiva 0–5
Fuente: Davis, 1969.

La porosidad n puede ser una importante influencia controladora sobre la conductividad hidráulica K. En programas de muestreo llevados a cabo en depósitos de arena bien seleccionada o en formaciones de roca fracturada, muestras con alta n generalmente también tienen alta K. Desafortunadamente, la relación no es aplicable a nivel regional en el espectro de posibles tipos de suelos y rocas. Suelos ricos en arcilla, por ejemplo, usualmente tienen porosidades más altas que suelos gravosos o arenosos pero tienen conductividades hidráulicas bajas. En la Sección 8.7 se presentarán técnicas para la estimación de la conductividad hidráulica a partir de la porosidad y análisis de tamaño de grano.

La porosidad n está estrechamente vinculada a la elación de vacíos e, la cual es ampliamente usada en mecánica de suelos. La relación de vacíos se define como e = Vv/Vs, y e se relaciona con n por

e = \frac{n}{1-n} \hspace{1cm} \text{or} \hspace{1cm} n = \frac{e}{1+e} (2.40)

Valores de e usualmente caen en el rango de 0-3.

Las medidas de porosidad en las muestras de suelo en el laboratorio serán tratadas en la Sección 8.4.

2.6 Flujo no saturado y nivel freático

Hasta este punto, la ley de Darcy y los conceptos de carga hidráulica y conductividad hidráulica han sido desarrollados respecto a un medio poroso saturado, es decir, todos los espacios libres llenos de agua. Es importante decir que algunos suelos, especialmente cerca de la superficie raramente están saturados. Sus poros por lo general están parcialmente llenos de agua, el otro espacio está lleno de aire; el suelo en estas condiciones se denomina suelo no saturado o parcialmente saturado. Históricamente, el estudio del flujo en medio no saturado ha sido rama de los físicos de suelos y los ingenieros agrónomos, pero recientemente los científicos de suelos e hidrólogos de aguas subterráneas han reconocido la necesidad de poner en común sus talentos en el desarrollo de un enfoque integrado para el estudio del flujo sub superficial tanto en medio saturado como no saturado.

Nuestro énfasis en esta sección estará enfocado en la hidráulica del transporte de agua en fase liquida en zona no saturada. No discutiremos el transporte en fase de vapor, y no se consideran las entre el agua y las plantas. Estos últimos temas son de particular interés en las ciencias agrícolas y juegan un papel importante en la interpretación de la geoquímica del suelo. Consideraciones más detalladas de la física y la química de la transferencia de humedad en los suelos no saturados se puede encontrar en un nivel introductorio en Baver et al. (1972) y en un nivel más avanzado en Kirkham y Powers (1972) y Childs (1969).

Contenido de humedad

Si la unidad de volumen total VT de un suelo o roca se divide en el volumen de la parte solida Vs, volumen de agua Vw y el volumen de aire Va, el contenido de humedad volumétrica θ se define como θ = Vw/VT. A su vez, la porosidad n, es usualmente reportada en fracción decimal o en porcentaje. Para flujo saturado, θ = n y para flujo no saturado, θ < n.

Nivel freático

La configuración hidrológica simple en condiciones saturadas o no saturadas es la de una zona no saturada en la superficie y una zona saturada en la profundidad Figura 2.12 (a). Comúnmente pensamos en el nivel freático como el límite entre los dos, sin embargo, estamos conscientes de que a menudo existe una franja capilar saturada encima del nivel freático. Con este tipo de complicación asechando en el fondo de la zona no saturada habrá que tener cuidado al establecer un conjunto coherente en las definiciones de los conceptos saturado y no saturado.

El nivel freático se define mejor como la superficie sobre la cual la presión del fluido p en los poros de un medio poroso es exactamente la presión atmosférica. La ubicación de esta superficie es revelada por el nivel en que el agua que se encuentra en un pozo abierto a lo largo de su longitud y que penetra los depósitos superficiales justo lo suficiente como para encontrarse con agua estancada en el fondo. Si p se mide en presión relativa, entonces el nivel freático es, p = 0. Esto implica que ψ = 0, y desde h = ψ + z la carga hidráulica en cualquier punto del nivel freático debe ser igual a la elevación z del nivel freático en ese punto. La figura que a menudo indica la ubicación del nivel freático es un triángulo invertido como en la Figura 2.12 (a).

Figura 2.12 Condiciones del agua subterránea cerca de la superficie del suelo. (a) Zonas saturadas e no saturada; (b) perfil del contenido de humedad versus profundidad; (c) relaciones entre carga de presión y carga hidráulica; retención de agua bajo carga de presión atmosférica menor en el tope y mayor en el fondo; (d) perfil de carga de presión versus profundidad; (e) perfil de carga hidráulica versus profundidad.

Carga de presión negativa y tensiómetros

Hemos visto que ψ > 0 (como se indica por mediciones piezométricas) en la zona saturada y que ψ = 0 sobre el nivel freático. De lo anterior resulta que ψ < 0 en la zona no saturada. Esto refleja el hecho de que el agua en la zona no saturada se mantiene en los poros del suelo bajo las fuerzas de tensión superficial. Una inspección microscópica revelaría un menisco cóncavo que se extiende desde un grano a través de cada canal de poro [como se muestra en el recuadro circular superior en la Figura 2.12 (c)]. El radio de curvatura en cada menisco refleja la tensión superficial de esa individua interfaz microscópica de aire-agua. En referencia a este mecanismo físico de retención de agua, los físicos del suelo suelen llamar a la carga de presión ψ, cuando ψ < 0, la carga de la tensión o de la carga de succión. En este texto, sobre la base de que un concepto merece un solo nombre, vamos a utilizar la carga de presión término para referirse a tanto positivos como negativos de ψ.

Independientemente de la señal de ψ, la carga hidráulica h sigue siendo igual a la suma algebraica de ψ y z. Sin embargo, por encima del nivel freático, donde ψ < 0, los piezómetros ya no son un instrumento adecuado para la medición de h. En cambio, h debe ser obtenida indirectamente a partir de mediciones de ψ determinado con tensiómetros. Kirkham (1964) y S.J. Richards (1965) proporcionan una descripción detallada del diseño y el uso de estos instrumentos. Por otra parte, se explica un tensiómetro de manera breve, el cual consiste en una base porosa (capsula), unida a un tubo hermético lleno de agua. La base porosa se inserta en el suelo a la profundidad deseada donde entra en contacto con el agua del suelo hasta alcanzar un equilibrio hidráulico. El proceso de equilibrio consiste en el paso del agua a través de la base porosa desde el tubo en el suelo. El vacío creado en la parte superior del tubo hermético es una medida de la carga de presión en el suelo. Por lo general se mide por un manómetro instalado en la parte superior del tubo encima de la superficie del suelo, esto se puede considerar como lo que se muestra en el punto 1 de la Figura 2.12 (c). Para obtener la carga hidráulica h, el valor negativo de ψ indicado por el manómetro de vacío en un tensiómetro se debe añadir algebraicamente a la elevación z del punto de medición. En la Figura 2.12 (c), el instrumento en el punto 1 es un tensiómetro; el que está en el punto 3 es un piezómetro. El diagrama es, por supuesto, esquemático. En la práctica, el tensiómetro sería un tubo con un medidor y una capsula porosa en la base; el piezómetro sería un tubo abierto con un punto hueco en la base.

Curvas características de los parámetros hidráulicos no saturadas

Existe una complicación adicional para el análisis del flujo en la zona no saturada. Tanto el contenido de humedad θ y la conductividad hidráulica K son funciones de la carga de presión ψ. En la reflexión, la primera de estas condiciones no debería ser una gran sorpresa. En el suelo se mantiene la humedad entre los granos del suelo bajo fuerzas de tracción en superficie que se reflejan en el radio de curvatura de cada menisco. Podríamos esperar que a contenidos de humedad más altos se conduciría a radios de curvatura mayor, fuerzas de tensión superficial más bajas y menor carga de tensión (es decir, cargas de presión menos negativas). Además, se ha observado experimentalmente que la relación θψ es de histéresis; que tiene una forma diferente cuando los suelos se están mojando que cuando se están secando. La Figura 2.13 (a) muestra la relación funcional de histéresis entre θ y ψ para un suelo de arena de origen natural (Liakopoulos, 1965a). Si una muestra de este suelo se satura a una carga de presión mayor que cero y la presión se reduce paso a paso hasta que alcanza niveles mucho menores que la atmosférica (\psi \ll \theta), los contenidos de humedad en cada paso seguirían la curva de secado (o curva de drenaje) de la Figura 2.13 (a). Si a continuación se añade agua a la tierra seca en pequeños pasos, las cargas de presión tomarían la ruta de regreso a lo largo de la curva de humedecimiento (o curva de imbibición). Las líneas internas se llaman curvas de escaneado. Muestran el curso que seguiría θ y ψ si el suelo se humedece sólo parcialmente, después se seca, o viceversa.

Uno esperaría que, sobre la base de lo que se ha presentado hasta ahora, que el contenido de humedad θ sería igual a la porosidad n para todo ψ > 0. Para suelos de grano grueso este es el caso, pero para suelos de grano fino esta relación se mantiene en un rango de ψ > ψa, donde ψa es una carga de presión negativa pequeña [Figura 2.13 (a)], conocida como la carga de presión de entrada de aire. La presión p_a correspondiente se denomina presión de entrada de aire o la presión de burbujeo.

La Figura 2.13 (b) muestra las curvas de histéresis que relacionan la conductividad hidráulica K para la carga de presión ψ del mismo suelo. Para ψ > ψa, K = K0, donde K0 se conoce como la conductividad hidráulica saturada. Ya que K = K(ψ) y 0 = 0(ψ), también es cierto que K = K(θ). Las curvas de la Figura 2.13 (b) reflejan el hecho de que la conductividad hidráulica de un suelo no saturado aumenta con el aumento de contenido de humedad. Si escribimos la ley de Darcy para flujo no saturado en la dirección x en un suelo isotrópico, seria:

v_x = -K(\psi)\frac{\partial h}{\partial x} (2.41)

vemos que la existencia de la relación K(ψ) implica que, dado un gradiente hidráulico constante, el caudal específico v aumenta al aumentar el contenido de humedad.

Figura 2.13 Curvas características que relacionan la conductividad hidráulica y el contenido de humedad de la carga de presión para un suelo de arena natural.

En realidad, sería imposible mantener la constante de gradiente hidráulico mientras que aumenta el contenido de humedad. Ya que h = ψ + z y θ(ψ), la carga hidráulica h también se ve afectada por el contenido de humedad. En otras palabras, un gradiente de carga hidráulico infiere un gradiente de carga de presión (excepto en flujo por gravedad pura), y esto a su vez infiere un gradiente de contenido de humedad. En la Figura 2.12, los perfiles verticales para estos tres variables se muestran esquemáticamente para un caso hipotético de infiltración hacia abajo desde la superficie. El flujo debe ser bajo debido a que las cargas hidráulicas que se muestran en la Figura 2.12 (e) disminuyen en esa dirección. Los grandes valores positivos de h infieren que |z| \gg |\psi|. En otras palabras, el datum de z = 0 se encuentra a cierta profundidad. Para un caso real, estos tres perfiles estarían interrelacionados cuantitativamente a través de θ(ψ) y K(ψ) curvas para el suelo en el sitio. Por ejemplo, si la curva θ(ψ) fuera conocida por el suelo y el perfil medido θ(z) en campo, entonces el perfil ψ(z) y por tanto el perfil h(z), podrá ser calculado.

El par de curvas θ(ψ) y K(ψ) que se muestran en la Figura 2.13 son características para cualquier suelo dado. Conjuntos de mediciones realizadas con las muestras separadas de un mismo suelo homogéneo mostrarían solamente las variaciones estadísticas habituales asociados con los puntos de muestreo separados espacialmente. Las curvas son a menudo llamadas curvas características. En la zona saturada tenemos los dos parámetros hidráulicos fundamentales K0 y n; en la zona no saturada éstas se convierten en las relaciones funcionales de K(ψ) y θ(ψ). Más claramente

\theta = \theta(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.42)

\theta = n \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

K = K(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.43)

K = K_0 \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

La Figura 2.14 muestra algunas curvas características hipotéticas de un solo valor (es decir, sin histéresis) que están diseñadas para mostrar el efecto de la textura del suelo en la forma de las curvas. Para una descripción más completa de la física de la retención de la humedad en los suelos no saturados, se remite al lector a White et al. (1971).

Figura 2.14 Curvas características de un solo valor para tres suelos hipotéticos. (a) Arena uniforme; (b) Arena limosa; (c) Arcilla limosa.

Zonas saturadas, insaturadas y saturadas-de-tensión

Es en este punto que vale la pena resumir las propiedades de las zonas saturadas y no saturadas, que se han dado a conocer hasta el momento. Por la zona saturada, se puede afirmar que:

  1. Se produce por debajo del nivel freático
  2. Los poros del suelo se llenan con agua y el contenido de humedad θ es igual a la porosidad n.
  3. La presión P del fluido es mayor que la atmosférica por lo que la carga de presión ψ (medida como presión manométrica) es mayor que cero.
  4. La carga hidráulica h debe ser medida con un piezómetro.
  5. La conductividad hidráulica K es una constante, no es una función de la carga de presión ψ.

Para la zona no saturada (algunas veces llamada, zona de aireación o zona vadosa), se afirma que:

  1. Se produce por encima del nivel freático y por encima de la franja capilar.
  2. Los poros del suelo solamente se llenan parcialmente con agua; el contenido de humedad θ es menor que la porosidad n.
  3. La presión del fluido p es menor que la atmosférica; la carga de presión ψ es menor que cero.
  4. La carga hidráulica h debe ser medida con un tensiómetro.
  5. La conductividad hidráulica K y el contenido de humedad θ son ambas funciones de la carga de presión ψ.

En resumen, para flujo saturado, ψ > 0, θ = n, y K = K0; para flujo no saturado, ψ < 0, θ = θ(ψ), y K = K(ψ).

La franja capilar no encaja en los grupos anteriores. Los poros están saturados, pero la carga de presión es menor que la atmosférica. Un nombre más descriptivo que ahora está ganando aceptación es la zona de saturada-de-tensión. Una explicación de sus propiedades aparentemente anómalas puede ser descubierta en la Figura 2.13. Es la existencia de la carga de presión de entrada de aire ψa < 0 en las curvas características que es responsable de la existencia de una franja capilar. ψa es el valor de ψ que existirá en la parte superior de la zona de saturada-de-tensión, como se muestra ψA por para el punto A en la Figura 2.12(d). Puesto que ψA tiene mayores valores negativos en los suelos arcillosos que lo hace en las arenas, estos suelos de grano fino desarrollaran zonas más gruesas de tensión-saturada que los suelos de grano grueso.

Algunos autores consideran que la zona saturada-de-tensión es parte de la zona saturada, pero en ese caso la capa freática ya no es el límite entre las dos zonas. Desde un punto de vista físico es probable que sea mejor para conservar las tres zonas (saturadas, saturadas-de-tensión y insaturadas) en la concepción de un sistema hidrológico completo.

Un punto que se desprende directamente de la discusión anterior en esta sección puede justificar una declaración específica. En las presiones de fluidos menores que la atmosférica, puede haber una salida no natural a la atmósfera desde una fase insaturada o saturada-de-tensión. El agua puede ser transferida de la zona no saturada a la atmósfera por evaporación y transpiración, pero las salidas naturales, tales como resortes en arroyos o entradas en pozos taladrados, deben venir de la zona saturada. El concepto de una fase de filtración saturada se introduce en la Sección 5.5 y su importante relación con la hidrología de laderas se enfatiza en la Sección 6.5.

Nivel freático invertido y colgado

La configuración hidrológica simple que hemos considerado hasta ahora, con una única zona no saturada que recubre el cuerpo principal saturada de agua subterránea, es muy común. Esta es la norma cuando los depósitos geológicos homogéneos se extienden a cierta profundidad. Complejos ambientes geológicos, por otro lado, pueden conducir a condiciones de saturación-instauración más complejas. La existencia de una capa de arcilla de baja permeabilidad en una formación de arena de alta permeabilidad, por ejemplo, puede conducir a la formación de una lente saturada discontinua, con condiciones no saturadas existentes tanto por encima y por debajo. Si consideramos que la línea de ABCDA en la Figura 2.15 es la isobara ψ = 0, podemos hacer referencia a la parte de ABC como una tabla de agua colgada y ADC como una tabla de agua invertida. EF es el nivel freático verdadero.

Figura 2.15 Nivel freático colgado ABC, nivel freático invertido ADC y nivel freático verdadero EF.

Condiciones de saturación pueden ser discontinuas en el tiempo como en el espacio. Las fuertes lluvias pueden conducir a la formación de una zona saturada temporal en la superficie de la tierra, su límite inferior siendo un nivel freático invertido sustentado por condiciones no saturadas. Zonas saturadas de este tipo se disipan con el tiempo bajo la influencia de percolación y la evaporación desde la superficie. En el capítulo 6 examinaremos las interacciones de la lluvia y la infiltración en los sistemas saturados-insaturados con mayor detalle.

Flujo multifase

El enfoque de flujo insaturado descrito en esta sección es usado casi universalmente por los físicos del suelo, pero en el fondo, es un método aproximado. El flujo insaturado es en realidad un caso especial de flujo multifase a través de medios porosos, con dos fases, aire y agua, que coexisten en los canales de poros. Siendo θw el contenido de humedad volumétrico (anteriormente denotado como θ) y siendo θa el contenido volumétrico de aire, que se define de manera análoga como θw. En la actualidad hay dos presiones de fluido a tener en cuenta: pw para la fase de agua y p_a para la fase de aire; y dos cargas de presión ψw y ψa. Cada suelo ahora posee dos curvas características de contenido de fluido vs carga de presión, uno para el agua θw(ψw), y uno para el aire, θa(ψa).

Cuando se trata de relaciones de conductividad, tiene sentido trabajar con la permeabilidad k [Ec. (2.28)] en lugar de la conductividad hidráulica K, ya que la permeabilidad es independiente del fluido y K no lo es. Los parámetros de flujo kw y ka, se llaman las permeabilidades efectivas del medio para agua y aire. Cada suelo tiene dos curvas características de permeabilidad efectiva vs a carga de presión, uno para el agua, kw(ψw), y uno por el aire, ka(ψa).

El enfoque de una sola fase de flujo insaturado conduce a técnicas de análisis que son lo suficientemente precisas para casi todos los propósitos prácticos, pero hay algunos problemas en el flujo insaturado por lo que debe considerarse el flujo multifásico de aire y agua. Estos implican comúnmente los casos en que una acumulación de la presión del aire queda atrapado por delante de un frente de humedecimiento, y el aire influye en el frente de velocidad de propagación a través de un suelo. Wilson y Luthin (1963) encontraron los efectos experimentalmente, Youngs y Peck (1964) proporcionan una discusión teórica, y McWhorter (1971) presenta un análisis completo. Como se muestra en la Sección 6.8, el atrapamiento de aire también influye en las fluctuaciones del nivel freático. Bianchi y Haskell (1966) discuten los problemas de atrapamiento de aire en el contexto de campo, y Green et al. (1970) describen una aplicación de campo del enfoque de múltiples fases para el análisis de un sistema de flujo sub superficial.

Gran parte de la investigación original en el flujo de múltiples fases a través de medios porosos se llevó a cabo en la industria petrolera. Ingeniería de yacimientos de petróleo implica el análisis de flujo de tres fases: aceite, gas, y agua. Pirson (1958) y Amyx et al. (1960) son referencias estándar en el campo. Stallman (1964) elabora un análisis interpretativo de las contribuciones de varias fases de petróleo lo que se refiere a la hidrología de aguas subterráneas.

El análisis de flujo insaturado de dos fases es un ejemplo de desplazamiento inmiscible; es decir, los fluidos se desplazan entre sí sin mezcla, y hay una interfaz de fluido-fluido distinto dentro de cada poro. El flujo simultáneo de dos fluidos que son solubles entre sí se denomina desplazamiento miscible, y en tales casos no existe una interfaz de fluido-fluido distinto. Bear (1972) proporciona un tratamiento teórico avanzado de tanto el desplazamiento miscible e inmiscible en medios porosos. En este texto, los únicos ejemplos de desplazamiento inmiscibles son aquellos que se han discutido en esta subsección. En el resto del texto, el flujo insaturado será tratado como un problema de una sola fase usando los conceptos y enfoque de la primera parte de esta sección. Las ocurrencias más comunes de desplazamiento miscible en hidrología subterránea implican la mezcla de dos aguas con diferente química (tales como el agua de mar y de agua dulce o agua pura y agua contaminada). Los procesos de transporte asociados con el desplazamiento miscible, y análisis de contaminación del agua subterránea, serán discutidos en el Capítulo 9.

2.7 Acuíferos y acuitardos

De todas las palabras en el vocabulario hidrológico, es probable que no haya ninguna con más matices de significado que el término acuífero. La palabra significa cosas diferentes para personas diferentes, y quizá cosas diferentes a la misma persona en diferentes momentos. Se utiliza para referirse a capas geológicas individuales, a formaciones geológicas enteras, e incluso a grupos de formaciones geológicas. La palabra siempre debe considerarse en términos de la escala y el contexto de su uso.

Acuíferos, acuitardos, y acuicludos

Un acuífero se define mejor como una unidad geológica permeable saturada que puede transmitir cantidades significativas de agua a bajos gradientes hidráulicos ordinarios. Un acuicludo se define como una unidad geológica saturada que es incapaz de transmitir cantidades significativas de agua bajo gradientes hidráulicos ordinarios.

Un par alternativo de definiciones que se utiliza ampliamente en la industria de pozos de agua indica que un acuífero es lo suficientemente permeable para producir cantidades económicas de agua a los pozos, mientras que los acuicludos no lo son.

En los últimos años, el término acuitardo se ha inventado para describir las camas menos permeables en una secuencia estratigráfica. Estas camas pueden ser lo suficientemente permeable para transmitir agua en cantidades que son importantes en el estudio de flujo de agua subterránea regional, pero su permeabilidad no es suficiente para permitir la terminación de pozos de producción dentro de ellos. La mayoría de estratos geológicos se clasifican como acuíferos o acuitardos; muy pocas formaciones se ajustan a la definición clásica de un acuicludo. Como resultado, hay una tendencia hacia el uso de los dos primeros de estos términos a expensas de la tercera.

Los acuíferos más comunes son aquellas formaciones geológicas que tienen valores de conductividad hidráulica en la mitad superior del rango observado (Tabla 2.2): arenas y gravas no consolidadas, rocas sedimentarias permeables tales como areniscas y calizas y rocas volcánicas y cristalinas fuertemente fracturadas. Los acuitardos más comunes son las arcillas, esquistos y rocas cristalinas densas. En el Capítulo 4, el acuífero principal y los tipos de acuitardo se examinarán con más detalle en el contexto de una discusión sobre los controles geológicos sobre la ocurrencia de aguas subterráneas.

Las definiciones de los acuíferos y los acuitardos son deliberadamente imprecisas con respecto a la conductividad hidráulica. Esto deja abierta la posibilidad de utilizar los términos en un sentido relativo. Por ejemplo, en una secuencia de arena-limo intercalada, los limos pueden ser considerados acuitardos, mientras que, en un sistema de limo y arcilla, son acuíferos.

Los acuíferos son a menudo llamados por sus nombres estratigráficas. La Arenisca Dakota, por ejemplo, debe su fama geológica en gran medida a las evaluaciones de Meinzer (1923) de las propiedades como un acuífero. Otros dos acuíferos de América del Norte conocidos son La Piedra Arenisca St. Peter en Illinois y La Caliza Ocala en Florida. Un resumen de los principales sistemas de acuíferos en los Estados Unidos se puede encontrar en McGuinness (1963) y Maxey (1964), que se basan en las compilaciones anteriores de Meinzer (1923), Tolman (1937), y Thomas (1951). Brown (1967) proporciona información sobre los acuíferos más importantes de Canadá.

En el mundo ideal de análisis (en donde varias secciones en este libro se consideran), acuíferos tienden a ser formaciones homogéneas y isotrópicas con espesor constante y geometría simple. Esperamos que el lector entienda que el mundo real es algo diferente. Hidrogeólogos constantemente enfrentan los complejos sistemas acuífero-acuitardo de formaciones heterogéneas y anisotrópicos, en vez de los casos idealizados representados en los textos. A menudo parece que los procesos geológicos han conspirado maliciosamente para maximizar las dificultades interpretativas y analíticas.

Acuíferos confinados y libres

Un acuífero confinado es un acuífero que está confinado entre dos acuitardos. Un acuífero no confinado, o acuífero libre, es un acuífero en el que el nivel freático forma el límite superior. Los acuíferos confinados se producen en profundidad, acuíferos libres cerca de la superficie del suelo (Figura 2.16). Una lente saturado saturada y delimitada por una tabla de agua (Figura 2.15) es un caso especial de un acuífero libre. Tales lentes a vecs se denominan acuiferos colgados.

Figura 2.16 Acuífero libre y nivel freático; acuífero confinado y superficie potenciometrica.

En un acuífero confinado, el nivel del agua en un pozo generalmente se eleva por encima de la parte superior del acuífero. Si lo hace, el pozo se llama un pozo artesiano y se dice que el acuífero existe bajo condiciones artesianas. En algunos casos el nivel de agua puede elevarse por encima de la superficie del suelo, en cuyo caso el pozo es conocido como un pozo artesiano que fluye y se dice que el acuífero de existe bajo condiciones de flujo artesiano. En la Sección 6.1, vamos a examinar las circunstancias topográficas y geológicas que conducen a condiciones de flujo artesianos. El nivel del agua en un pozo en un acuífero libre se apoya en el nivel freático.

Superficie potenciometrica

Para los acuíferos confinados, que son ampliamente aprovechados por los pozos de abastecimiento de agua, ha crecido un concepto tradicional que no es particularmente robusto, sino que está firmemente arraigada en uso. Si las elevaciones del nivel de agua en los pozos de un acuífero confinado son representadas en un mapa y contorneadas, la superficie resultante, que en realidad es un mapa de la carga hidráulica en el acuífero, se llama una superficie potenciometrica. Un mapa potenciométrico de un acuífero proporciona una indicación de las direcciones de flujo del agua subterránea en el acuífero.

El concepto de una superficie potenciométrica sólo es rigurosamente válido para el flujo horizontal en los acuíferos horizontales. La condición de flujo horizontal se cumple sólo en los acuíferos con conductividades hidráulicas que son mucho más altas que las de las capas confinantes asociadas. Algunos informes hidrogeológicos contienen mapas de superficies potenciométricas basados ??en los datos de nivel de agua de conjuntos de pozos, donde la parte más baja queda cerca de la misma elevación, pero que no están asociados con un acuífero confinado específico. Este tipo de superficie potenciometrica es esencialmente un mapa de contornos de cargas hidráulicas en una sección transversal horizontal de dos dimensiones tomada a través del patrón de la carga hidráulica tridimensional que existe en el subsuelo en esa zona. Si hay componentes verticales de flujo, y por lo general si hay, los cálculos y las interpretaciones basadas en este tipo de superficie potenciometrica pueden ser muy engañosos.

También es posible confundir una superficie potenciométrica con el nivel freático en las zonas en las que existen dos acuíferos confinados y libres. La Figura 2.16 distingue esquemáticamente entre los dos. En general, como se verá a partir de las redes de flujo en el Capítulo 6, las dos no coinciden.

2.8 Régimen de Flujo Estático y Flujo Transitorio

Régimen de flujo estático ocurre cuando en un punto del campo de flujo, la magnitud y la dirección de la velocidad del flujo son constantes con el tiempo. Flujo transitorio (o flujo no estacionario, o flujo no constante) ocurre cuando en un punto del campo del flujo la magnitud o dirección de la velocidad del flujo cambia con el tiempo.

En la Figura 2.17 (a) se muestra un patrón de flujo estático de agua subterránea (equipotencial discontinua, línea de flujo sólida) a través de un depósito aluvial permeable debajo de una presa de hormigón. A lo largo de la línea AB, la carga hidráulica h hAB = 1000 m. Esta es igual a la elevación de la superficie del reservorio sobre AB. Similarmente, hCD = 900 m (la elevación de canal de estanque desagüe sobre CD). La caída de la carga hidráulica Δh. a través del sistema es 100 m. Si el nivel del agua en el reservorio sobre AB y el nivel del agua en el canal de desagüe sobre el estanque CD no cambia con el tiempo, el flujo neto por debajo de la presa no va a cambiar con el tiempo. La carga hidráulica en el punto E, por ejemplo, podría ser hE = 950 m y permanecerá constante. Bajo tales circunstancias la velocidad v = -K &partial;h/&partial;l podría también permanecer constante a través del tiempo. En un estado – flujo estático de un sistema, la velocidad podría variar de un punto a otro, pero esta podría no variar con el tiempo en cualquier punto dado.
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Figura 2.17 Regímenes de flujo estático y flujo transitorio de agua subterránea debajo de una presa.

Consideremos ahora el problema de flujo transitorio que se muestra esquemáticamente en la Figura 2.17 (b). Al tiempo t0, la red de flujo debajo la presa será idéntica a la de la Figura 2.17 (a) y hE será 950 m. Si el nivel del reservorio cae sobre el periodo t0 a t1, hasta que los niveles de agua por debajo y por encima de la presa son idénticos al tiempo t1, las ultimas condiciones bajo la presa serán estáticas sin flujo de agua desde la corriente de arriba hasta aguas abajo. En el punto E la carga hidráulica hE se someterá en el tiempo a una disminución de la pendiente desde hE = 950 m al tiempo t0 a este último valor de hE = 900 m. Este podría ser el lapso de tiempo en un sistema de tal manera que hE podría no necesariamente alcanzar el valor hE = 900 m hasta algún tiempo después de t0 = t1.

Una importante diferencia entre sistemas estáticos y transitorios queda en la relación entre sus líneas de flujo y sus trayectorias. Las líneas de flujo indican las direcciones instantáneas de flujo a través del sistema (todo el tiempo en un sistema estático o un instante dado del tiempo en un sistema transitorio). Ellas siempre deben ser ortogonales a las líneas equipotenciales de la región de flujo. La trayectoria mapea la ruta del mapa que una partícula individual de agua sigue a través de la región de flujo durante un evento estático o transitorio. En un sistema de flujo estático, una partícula de agua que entra al sistema en un límite de influjo podría fluir hacia fuera de los límites a lo largo de la trayectoria que coincide con una línea de flujo tal como se muestra en la Figura 2.17 (a). En un sistema de flujo transitorio por otro lado, la trayectoria y líneas de flujo no coinciden. Aunque una red de flujo podría construirse para describir las condiciones del flujo en cualquier instante de tiempo en un sistema transitorio, las líneas de flujo muestran una instantánea representante solo de las direcciones del movimiento en un instante de tiempo. Debido a que la configuración de las líneas de flujo cambian con el tiempo, las líneas de flujo no pueden describir ellas mismas la huella completa de una partícula de agua a medida que atraviesa el sistema. La delimitación de las trayectorias transitorias tiene una importancia evidente en el estudio de la contaminación de acuíferos.

Un hidrogeólogo de aguas subterráneas podría entender las técnicas de análisis para ambos estados de flujo estático y flujo transitorio. En la Sección final de este capítulo las ecuaciones de flujo podrían ser desarrolladas para cada tipo de flujo, bajo ambas condiciones saturadas e insaturadas. La metodología práctica que se presenta en el último capítulo está basada frecuentemente en la teoría de las ecuaciones, pero esta no está necesariamente a mano para la práctica del hidrogeólogo. La principal aplicación de las técnicas de hidrología de acuíferos está en el análisis regional de los flujos de acuíferos. La comprensión del flujo transitorio es requerida para el análisis de la hidráulica de pozos, recarga de acuíferos y muchas aplicaciones geoquímicas y geotécnicas.

2.9 Compresibilidad y esfuerzo efectivo

El análisis de flujo transitorio de agua subterránea requiere introducir el concepto de compresibilidad, como una propiedad del material que describe el cambio en volumen, o la deformación inducida en un material bajo un esfuerzo aplicado. En el enfoque clásico de resistencia de materiales elásticos, el módulo de elasticidad es una propiedad conocida y se define como la relación entre el cambio en el esfuerzo dσ y la resultante de la deformación . La compresibilidad es simplemente el inverso del módulo de elasticidad o deformación/esfuerzo, /, en lugar de esfuerzo/deformación, /. El término se utiliza tanto para materiales elásticos y no elásticos. Para el flujo de agua a través de medios porosos, es necesario definir dos términos de compresibilidad, uno para el agua y uno para el medio poroso.

Compresibilidad del agua

El estrés se imparte a un fluido a través de la presión p del fluido. Un aumento de la presión dp conduce a una disminución en el volumen Vw de una masa dada de agua. Por consiguiente, la compresibilidad del agua β se define como

\beta = \frac{-dV_w/V_w}{dp} (2.44)

El signo negativo es necesario si se desea que β sea un número positivo.

La Ec. (2.44) implica una relación elástica lineal entre la deformación volumétrica dVw/Vw y el esfuerzo inducido por el cambio en la presión del fluido dp. La compresibilidad β es por lo tanto, la pendiente de la línea que relaciona la deformación con el esfuerzo en el agua y no cambia respecto al intervalo de presiones del fluido encontrado en hidrología subterránea (incluyendo aquellos con presión atmosférica que se encuentran en la zona no saturada). Por tanto, la temperatura del agua subterránea que usualmente se encuentra, presenta una variación y pequeña influencia en β, de modo que se puede considerar que β es un valor constante. Las dimensiones de β son el inverso de la presión o el esfuerzo. Su valor puede ser tomado como 4.4 × 10–10 m2/N (or Pa–1).

Para una masa de agua dada, es posible reescribir la Ecuación (2.44) en la forma

\beta = \frac{dp/p}{dp} (2.45)

donde ρ la densidad del fluido. Integrando la Ecuación (2.45) se obtiene la ecuación de estado del agua:

\rho = \rho_0 \text{exp}[\beta(p - p_0)] (2.46)

donde ρ0 es la densidad del fluido a la presión de referencia p0. Para p0 atmosférica, la Ecuación (2.46) puede ser escrita en términos de presión manométrica como

\rho = \rho_0 e^{\beta p} (2.47)

Un fluido incompresible es uno de los cuales \beta = 0 and \rho = \rho_0 = constante.

Esfuerzo efectivo

Considere ahora la compresibilidad del medio poroso. Suponga que un esfuerzo se aplica a una unidad de masa de arena saturada. Hay tres mecanismos por los cuales se puede lograr una reducción en el volumen: (1) por la compresión del agua en los poros, (2) por la compresión de los granos individuales de arena, y (3) por un reordenamiento de los granos de arena con una configuración más comprimida y cerrada. El primero de estos mecanismos es controlado por la compresibilidad del fluido, β. Suponga que el segundo mecanismo es insignificante, es decir, que los granos individuales del suelo son incompresibles. Ahora la tarea consiste en definir un término de compresibilidad que reflejará el tercer mecanismo.

Para ello, se debe incorporar el principio de esfuerzo efectivo. Este concepto fue propuesto por primera vez por Terzaghi (1925) y ha sido analizado en detalle por Skempton (1961). La mayoría de los textos de mecánica de suelos, tales como los de Terzaghi & Peck (1967) y Scott (1963) proporcionan una discusión completa.

Para nuestros propósitos, tenga en cuenta el equilibrio del esfuerzo en un plano arbitrario a través de una formación geológica saturada en profundidad (Figura 2.18). σT, es el esfuerzo total que actúa hacia abajo en el plano. Esto se debe al peso de la roca suprayacente y el agua. Este esfuerzo se confirma en parte por el esqueleto granular del medio poroso y en parte, por la presión p del fluido del agua en los poros. La porción del esfuerzo total que no está soportado por el líquido se denomina esfuerzo efectivo σe. Este esfuerzo actualmente se aplica a los granos del medio poroso. El reordenamiento de los granos del suelo y la compresión resultante del esqueleto granular, es causada por los cambios en la tensión efectiva, no por los cambios en la tensión total. Los dos están relacionados mediante la ecuación

\sigma_T = \sigma_e + p (2.48)

En términos de los cambios,

d\sigma_T = d\sigma_e + dp (2.49)

Figura 2.18 Esfuerzo total, esfuerzo efectivo y presión del fluido en un plano arbitrario a través de un medio poroso saturado.

Muchos de los problemas en el subsuelo transitorio deben ser analizados y no implican cambios en el esfuerzo total. El p eso de la roca y el agua que cubre cada punto del sistema, por lo general permanecen constantes a través del tiempo. En tales casos, T = 0 y,

d\sigma_e = -dp (2.50)

En estas circunstancias, si aumenta la presión del fluido, la tensión efectiva disminuye en una cantidad igual; y si la presión del fluido disminuye, la tensión efectiva se incrementa en una cantidad similar. Para los casos en que la tensión total no cambia con el tiempo, la tensión efectiva en cualquier punto del sistema, y las deformaciones volumétricas resultantes allí, son controlados por las presiones fluido en ese punto p = ρgψ and ψ = h – z (z siendo constante en el punto en cuestión), los cambios en el esfuerzo efectivo en un punto son, en efecto gobernados por los cambios en la carga hidráulica en ese punto:

d\sigma_e = -\rho g \hspace{1mm} d\psi = -\rho g \hspace{1mm} dh (2.51)

Compresibilidad en el medio poroso

La compresibilidad del medio poroso es definida como

\alpha = \frac{-dV_T/V_T}{d\sigma_e} (2.52)

donde VT, es el volumen total de la masa de suelo y e el cambio en el esfuerzo efectivo.

Recordemos que V_T = V_S + V_v, en donde V_S es el volumen de los sólidos y Vv es el volumen de espacios vacíos saturados por agua. Un aumento del esfuerzo efectivo e, produce una reducción dVT, en el volumen total de la masa de suelo. En los materiales granulares esta reducción se produce casi en su totalidad como resultado del reordenamiento de los granos. Es cierto que los granos individuales pueden ser por si mismos compresibles, pero el efecto es generalmente considerado como insignificante. En general, dVT = dVS + dVv pero para nuestros propósitos se asumirá que dVS = 0 y dVT = dVv.

Considere una muestra de suelo saturado que se ha colocado en una celda de carga de laboratorio tal como se muestra en la Figura 2.19 (a). Un esfuerzo total σT = L/A, puede ser aplicado a la muestra a través de los pistones. La muestra es lateralmente confinada por las paredes de las células, y se permite que el agua atrapada escape a través de las rejillas de ventilación en los pistones a una piscina externa manteniendo una presión constante conocida en el fluido. La reducción volumétrica en el tamaño de la muestra de suelo se mide en varios valores de L cómo L y se incrementa de forma gradual. En cada paso, el esfuerzo total es incrementado T y es inicialmente transmitido por el agua bajo el aumento de presiones al fluido, pero el drenaje del agua de la muestra a la piscina externa, lentamente transfiere la tensión del agua al esqueleto granular. Este proceso transitorio se conoce como consolidación, y el tiempo requerido para que el proceso de consolidación alcance el equilibrio hidráulico en cada L puede ser considerable. Una vez alcanzado, sin embargo, se sabe que dp = 0 dentro de la muestra, y de la Ecuación (2.49), e = T = dL/A. Si la muestra de suelo tiene una relación de vacíos inicial e0 (donde e = Vv/VS), y una altura inicial b [Figura 2.19 (a)], y suponiendo que dVT = dVv, Ec. (2.52) se puede escribir como:

\alpha = \frac{-db/b}{d\sigma_e} = \frac{-de(1+e_0)}{d\sigma_e} (2.53)

La compresibilidad α es usualmente determinada a partir de la pendiente de la gráfica esfuerzo-deformación, e vs σe. La curva AB en la Figura 2.19 (b) es la carga (aumento de σe), BC es la descarga (disminución de σe). En general, la relación esfuerzo-deformación no es lineal ni elástico. De hecho, para repetidas cargas y descargas, muchos suelos de grano fino muestran propiedades de histéresis [Figura 2.19 (c)]. La compresibilidad del suelo α, a diferencia de la compresibilidad del fluido β, no es una constante, está en función del esfuerzo aplicado y es dependiente de los ciclos de carga anteriores (historial de esfuerzos).

Figura 2.19 (a) Celda de carga de laboratorio para la determinación de la compresibilidad del suelo; (b), (c) y (d) curvas esquemáticas de relación de vacíos versus el esfuerzo efectivo.

La Figura 2.19 (d) proporciona una comparación esquemática de eσe para las curvas de arcilla y arena. La menor pendiente en la curva de arena implica una α más pequeña, y su linealidad implica un valor de α que se mantiene constante en unamplio intervalo de σe. En los sistemas de aguas subterráneas, las fluctuaciones dependientes del tiempo en σe, a menudo son bastante pequeñas, por lo que incluso para arcillas, el valor de α constante puede tener algún sentido. La Tabla 2.5, muestra los intervalos de valores de compresibilidad para varios tipos de materiales geológicos.

Tabla 2.5 Intervalo de valores de compresibilidad*

Material

Compresibilidad
Arcilla 10-6 – 10-8
Arena 10-7 – 10-9
Grava 10-8 – 10-10
Roca diaclasada 10-9 – 10-10
Roca sana 10-9 – 10-11
Agua 4.4 – 10-10

* Ver Tabla A 1.3. Apéndice I, para factores de conversión.

Las fuentes originales de los datos de compresibilidad fueron incluidas por Domenico & Mifflin (1965) y Johnson et al. (1968). Las dimensiones decómo β, son el inverso del esfuerzo. Los valores son expresados en unidades del SI de m2/N o Pa–1. Tenga en cuenta que la compresibilidad del agua es del mismo orden de magnitud que la compresibilidad de los materiales geológicos menos compresibles.

Como se ha indicado en la Figura 2.19 (b) y (c), la compresibilidad de algunos suelos en expansión (expansivos?) es mucho menor que en la compresión. Para arcillas, la relación de radio de los dos α es generalmente del orden de 10:1; para las arenas con una granulometría uniforme, ese aproxima a 1:1. Para suelos que tienen valores de compresibilidad que son significativamente menores en expansión que compresión, las deformaciones volumétricas que se producen en respuesta al creciente esfuerzo efectivo [tal vez debido a la disminución de los niveles piezométricos según lo sugerido por la Ecuación (2.51)] son en gran medida irreversibles y no se recuperan aun cuando los esfuerzos efectivos posteriores disminuyen. En un sistema acuífero-acuitardo compuesto por arcilla y arena, la compactación que puede ocurrir en los acuitardos de arcilla (debido a los valores grandes α) son en gran parte irrecuperables; mientras que las pequeñas deformaciones que se producen en los acuíferos de arenas (debido a los valores pequeños de α) son en gran parte elásticos.

Compresibilidad del acuífero

El concepto de la compresibilidad inherente en la Ecuación (2.53) y en las Figura 2.18 y Figura 2.19 es unidimensional. En el campo, en profundidad, un concepto unidimensional tiene sentido si se supone que los suelos y rocas presentan deformación o esfuerzo sólo en la dirección vertical. El esfuerzo total, σT vertical en cualquier punto es debido al peso de la roca suprayacente y el agua; los materiales vecinos proporcionan el confinamiento horizontal. El esfuerzo efectivo vertical σe, es igual σTp. En estas condiciones la compresibilidad del acuífero α se define por la primera igualdad de la Ecuación (2.53), donde b, es ahora el espesor del acuífero en lugar de una altura de la muestra. El parámetro α es una compresibilidad vertical. Este puede ser determinado con aparatos de laboratorio como lo muestra la Figura 2.19 (a), en donde las muestras de suelo son orientadas verticalmente y la carga debe ser aplicada en ángulo recto en alguna cama horizontal. Dentro del acuífero, puede variar con la posición horizontal; es decir, puede ser heterogéneo con α = (x, y).

Al realizar un análisis más general, se debe reconocer que el campo de esfuerzos existentes en la profundidad no es unidimensional, es en tres dimensiones. En ese caso, la compresibilidad del acuífero debe ser considerada como un parámetro anisótropo. La compresibilidad vertical α, se invoca por los cambios en la componente vertical del esfuerzo efectivo, y la compresibilidad horizontal es producto de los cambios en los componentes horizontales del esfuerzo efectivo. La aplicación de los conceptos de análisis de esfuerzos en tres dimensiones en la consideración de flujo de fluido a través de un medio poroso, es un tema avanzado que no puede ser tratado aquí. Afortunadamente, para muchos casos prácticos, los cambios en el campo de esfuerzos horizontales son muy pequeños, y en la mayoría de los análisis se puede suponer que son insignificantes. Es suficiente para nuestros propósitos pensar en la compresibilidad del acuífero, como un único parámetro isotrópico, pero se debe tener en cuenta que en realidad es la compresibilidad en la dirección vertical, y que esta es la única dirección en la que grandes cambios en el esfuerzo efectivo se anticipan.

Para ilustrar la naturaleza de las deformaciones que pueden ocurrir en los acuíferos compresibles, considere ahora el espesor mostrado en la Figura 2.20. Si el peso del material suprayacente se mantiene constante y la carga hidráulica en el acuífero se reduce en una cantidad -dh, el aumento del esfuerzo efectivo e está dado por la Ecuación (2.51) como \rho g dh, y la compactación del acuífero, se podrá calcular a partir de la Ecuación (2.53)

db = -\alpha b \hspace{1mm} d\sigma_e = -\alpha b \hspace{1mm} \rho g \hspace{1mm} dh (2.54)

El signo menos indica que la disminución de la carga hidráulica produce una reducción en el espesor b.

Figura 2.20 Compactación del acuífero causada por el bombeo de agua subterránea.

Una forma para que la carga hidráulica disminuya en un acuífero es con el bombeo de un pozo. El bombeo induce gradientes hidráulicos horizontales hacia el pozo en el acuífero, y como resultado, la carga hidráulica disminuye en un punto cercano a este. En respuesta, los esfuerzos efectivos son incrementados en estos puntos y resulta con la compactación del acuífero. Por el contrario, el bombeo de agua en un acuífero aumenta los niveles piezométricos, disminuye los esfuerzos efectivos, y provoca la expansión del acuífero. Si la compactación del sistema acuífero-acuitardo debido al bombeo de agua subterránea se propaga a la planta baja, el resultado es la subsidencia del terreno. En la Sección 8.12 este fenómeno es considerado en detalle.

Esfuerzo efectivo en la zona no saturada

La primera igualdad en la Ecuación (2.51) indica que la relación entre el esfuerzo efectivo σe y la carga de presión ψ deben ser lineales. Esta relación, y el concepto de la Figura 2.1 en la que se basa, se mantiene en la zona saturada, pero hay abundante evidencia para sugerir que también acontece en la zona no saturada (Narasimhan, 1975). Para el flujo no saturado, Bishop & Blight (1963) sugieren que la Ecuación (2.51) debería ser modificada como

d\sigma_e = -\rho g\chi \hspace{1mm} d\psi (2.55)

donde el parámetro χ depende del grado de saturación, la estructura del suelo, y la historia de humedecimiento-secado del suelo. La curva ABC en la Figura 2.21 muestra tal relación esquemática. Para ψ > 0, χ = 1; para ψ < 0, χ ≤ 1; y para \psi \ll 0, χ = 0.

Figura 2.21 Relación entre el esfuerzo efectivo y la carga de presión en las zonas saturadas y no saturadas (después Narasimhan, 1975).

El enfoque χ es empírico y su uso refleja el hecho de que la capacidad de presiones del fluido es menor que la atmosférica para mantener una parte del esfuerzo total en un campo de flujo no saturado que no se entiende todavía completamente. En una primera aproximación, no es razonable suponer que no tienen esa capacidad, como se sugiere por la curva en la Figura 2.21. Bajo este supuesto, ψ < 0, χ = 0, e = T, y cambios en la carga de presión (o contenido de humedad) en la zona no saturada no conducen a cambios en el esfuerzo efectivo.

La definición de la compresibilidad de un medio poroso en la zona no saturada todavía está dada por la Ecuación (2.52) tal como es en la zona saturada, pero la influencia de la presión del fluido en el esfuerzo efectivo ahora se considera que está silenciado o no existente.

2.10 Transmisividad y coeficiente de almacenamiento

Hay seis propiedades físicas básicas de los fluidos y medio poroso que deben ser conocidas para describir aspectos hidráulicos de flujo saturado de acuíferos. Estas seis ya han sido mencionadas. Ellas son, para el agua, densidad ρ, viscosidad μ, y comprensibilidad β; y para el medio, la porosidad n (o relación de vacíos e), permeabilidad k, y compresibilidad α. Todos los parámetros que son usados para describir las propiedades hidrogeológicas delas formaciones geológicas pueden ser derivadas de estas seis. Por ejemplo, hemos visto en la Ecuación (2.28) que la conductividad hidráulica saturada K es una combinación de k, ρ, y μ. En esta sección, consideraremos los aspectos de almacenamiento específico Ss el coeficiente de almacenamiento S, y transmisividad T.

Almacenamiento específico

El almacenamiento específico Ss de un acuífero saturado es definido como el volumen de agua que por unidad de volumen de un acuífero disminuye del almacenamiento bajo una unidad que declina en carga hidráulica. De la Sección 2.9 nosotros podemos saber que una disminución en la carga hidráulica h infiere en un decrecimiento en la presión del fluido p y un incremento en el estrés efectivo σe. El agua que es liberada del almacenamiento bajo condiciones de disminución h es producida por dos mecanismos: (1) la compactación del acuífero causado por un incremento σe y (2) la expansión del agua causada por disminución p. el primero de estos mecanismos es controlado por la compresibilidad del acuífero α y el segundo por la compresibilidad del fluido β.

Consideremos en primer lugar el agua producida por la compactación del acuífero. El volumen de agua que sale por unidad de volumen del acuífero durante la compactación podría ser igual a la reducción en volumen por unidad de volumen del acuífero. La reducción volumétrica dVT seria negativa, pero la cantidad de agua producida dV_w sería positiva, tal como está en la Ecuación (2.52),

dV_W = -dV_T = \alpha V_Td\sigma_e (2.56)

Por una unidad de volumen, VT = 1, y de la Ecuación (2.51), e = ρg dh. Por una unidad disminuida en carga hidráulica, dh = -1, y tenemos

dV_W = \alpha \rho g (2.57)

Ahora consideremos el volumen de agua producida por la expansión de agua. De la Ecuación (2.44),

dV_W = -\beta V_W dp (2.58)

El volumen de agua Vw en la unidad de volumen total VT. Es nVT, donde n es la porosidad. Con VT y dp = ρg dψ = ρg d(h – z) = ρg dh, Ec. (2.58) se cambia, por dh = -1,

dV_W =\beta n \rho g (2.59)

La carga especifica Ss, es la suma de dos términos dados por las ecuaciones. (2.57) y (2.59):

S_s = \rho g (\alpha + n\beta) (2.60)

Una inspección dimensional de esta ecuación muestra que Ss tiene dimensiones particulares de [L]-1. Esto también muestra la definición de Ss, como un volumen por unidad de volumen disminuido en carga.

Transmisividad y Coeficiente de Almacenamiento de un Acuífero Confinado

Para un acuífero confinado de espesor b, la transmisividad (o transmisibilidad) T es definida como

T = Kb (2.61)

y el coeficiente (o coeficiente de almacenamiento) S es definido como

S = S_sb (2.62)

Si nosotros sustituimos la Ecuación (2.60) en la Ecuación (2.62), la definición ampliada de S se ve que es

S = \rho gb(\alpha + n\beta) (2.63)

El coeficiente de almacenamiento de un acuífero confinado de espesor b puede ser definido en palabras como el volumen de agua que un acuífero libera del almacenamiento por unidad de superficie de área de un acuífero por unidad de decrecimiento en el componente de la carga hidráulica normal a la superficie. La carga hidráulica de un acuífero confinado es usualmente desplazada en forma de una superficie potenciométrica, y la Figura 2.22 (a) ilustra el concepto de coeficiente de almacenamiento a la luz de este.

Figura 2.22 Esquematiza la representación del coeficiente de almacenamiento en (a) un acuífero confinado y (b) un acuífero libre (en Ferris et al., 1962).

En que la conductividad hidráulica K tiene dimensiones [L/T], se desprende de la Ecuación (2.61) que la transmisividad T tiene dimensiones [L2/T]. La unidad métrica SI es m2/s. T y S son términos ampliamente usados en Norte América en la industria de pozos de agua y a menudo se expresa en pies por segundo (unidades de ingeniería). Si K se expresa en gal/día/ft2, entonces para T tiene unidades de gal/día/ft. El rango de valores de T puede ser calculado al multiplicar los valores de K correspondiente a los valores de la Tabla 2.2 por el rango de espesor de los acuíferos razonables, por ejemplo entre 5-100 m. Los valores mayores que 0,015 m2/s (o 0,16 ft2/s o 100,000 gal/día/ft) representa buenos acuíferos para explotación de pozos de agua. Las unidades de almacenamiento son adimensionales. En acuíferos confinados, ellos tienen rangos de valores entre 0,005 a 0,00005. Referente a la definición de S, acoplando con estos rangos de valores, se hace claro que grandes cambios en la presión de carga sobre áreas extensas son requeridos para producir rendimientos sustánciales en acuíferos confinados.

La transmisividad y el coeficiente de almacenamiento pueden ser definidos para acuitardos como para acuíferos. Sin embargo, en la mayoría de aplicaciones, la conductividad hidráulica vertical de un acuitardo tiene más significancia que la transmisividad. También se podría notar que en acuitardos arcillosos, \alpha \gg \beta y el término en la definición del coeficiente de almacenamiento [Ec. (2.63)] y almacenamiento especifico [Ec. (2.60)] es insignificante.

Es posible definir en un parámetro de formación las propiedades de la transmisividad T o K, y las propiedades de almacenamiento S o Ss. Este parámetro, que se denomina difusividad hidráulica, D es definido como

D = \frac{T}{S}=\frac{K}{S_s} (2.64)

El término no se utiliza ampliamente en la práctica.

Los conceptos de transmisividad T y el coeficiente de almacenamiento S fueron desarrollados principalmente para el análisis de pozos hidráulicos en acuíferos confinados. Para, flujo horizontal en dos dimensiones hacia hacia un pozo en un acuífero confinado de espesor b, los términos están bien definidos; pero ellos pierden su significado en muchas otras aplicaciones en aguas subterráneas. Si un problema en aguas subterráneas tiene connotaciones tridimensionales, es mejor volver a utilizar la conductividad hidráulica K y almacenamiento específico Ss; o quizás aún mejor, a los parámetros fundamentales como permeabilidad k, porosidad n, y compresibilidad α.

Transmisividad y Rendimiento Específico en Acuíferos No Confinados

En un acuífero libre, la transmisividad no está tan bien definida como en un acuífero confinado, pero también se puede usar. Está definido por la misma ecuación [Ec. (2.61)], pero b es ahora el espesor saturado del acuífero a la altura de la tabla de agua por encima de la parte superior del acuitardo subyacente que limita el acuífero.

El término almacenamiento en acuíferos libres es conocido como rendimiento especifico Sy. Este es definido como el volumen de agua que un acuífero libre liberada de almacenamiento por unidad de área de superficie del acuífero por unidad de descenso de la tabla de agua. Este es algunas veces llamado coeficiente de almacenamiento libre. Figura 2.22 (b) ilustra el concepto de forma esquemática.

La idea de rendimiento específico se visualiza mejor con referencia a la interacción saturada-no saturada que representa. Figura 2.23 muestra la posición de la tabla de agua y el perfil vertical del contenido de humedad vs. profundidad en la zona no saturada en dos tiempos, t1 y t2. El área sombreada representa el volumen de agua liberada de almacenamiento en una columna de sección transversal. Si la caída de la tabla de agua representa una disminución en la unidad, el área sombreada representa el rendimiento específico.

Figura 2.23 Concepto de Rendimiento Específico visto en términos de perfil de humedad insaturada por encima la tabla de agua.

El rendimiento específico en acuíferos libres es mucho más alto que el coeficiente de almacenamiento de acuíferos confinados. El rango usual de Sy es 0,01-0,30. Los valores más altos reflejan el hecho que el almacenamiento liberado en acuíferos libres representa un desaguado real de los poros del suelo, mientras que el almacenamiento liberado en acuíferos confinados representan solo efectos secundarios de la expansión de agua y compactación del acuífero causados por cambios en la presión del fluido. Las propiedades de almacenamiento favorables en acuíferos confinados hacen que sean más eficientes para la explotación de pozos. Cuando se compara con acuíferos confinados, el mismo rendimiento puede ser realizando con pequeños cambios en la presión de carga sobre áreas menos extensas.

Almacenamiento en la Zona Insaturada

En un suelo insaturado, los cambios en el contenido de humedad θ, tal como se muestra en la Figura 2.23, están acompañados por cambios en la presión de carga ψ, a través de la relación θ(ψ) que aparece en la características de la curva en la Figura 2.13 (a). La pendiente de esta curva característica representa la propiedad de almacenamiento insaturado de un suelo. Esta es llamada la capacidad de humedad especifica C y es definida como

C = \frac{d\theta}{d\psi} (2.65a)

Un incremento de en la carga de presión (por ejemplo de -200 cm a -100 cm en la Figura 2.13) tiene que ir acompañado de un incremento de en la humedad de almacenamiento en el suelo insaturado. Ya que θ(ψ) es no lineal y de histéresis, así también, es C. Esta no es una constante; es una función de la carga de presión ψ : C = C(ψ). En la zona saturada, de hecho para todo ψ > ψa, el contenido de humedad θ es igual a la porosidad n, una constante, tal como C = 0. Una formula paralela a la Ecuación (2.42) para C es

C = C(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.65b)

C = 0 \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

Las propiedades de transmisión y almacenamiento de un suelo insaturado están completamente especificados por las características de la curva K(ψ) y una de las dos curvas θ(ψ) o C(ψ).

De una manera análoga en la Ecuación (2.64), la difusividad suelo-agua puede ser definida como

D(\psi) = \frac{K(\psi)}{C(\psi)} (2.66)

2.11 Ecuaciones de Flujo de Aguas subterráneas

En casi todos los campos de las ciencias y la ingeniería las técnicas de análisis están basadas en el entendimiento de los procesos físicos, y en la mayoría de los casos es posible describirlo en forma matemática. El flujo de aguas subterráneas no es la excepción. La ley básica de flujo es la ley de Darcy, y cuando esta ley es expresada dentro de la ecuación de continuidad que describe la conservación de masa de un fluido durante su flujo a través del medio poroso, se obtiene como resultado una ecuación de flujo en diferencias parciales. En esta sección, presentaremos el desarrollo breve de la ecuación de flujo para (1) estado estacionario, 2) estado transitorio, y (3) flujo transitorio insaturado. Todas estas ecuaciones de flujo son bien conocidas por los matemáticos, y las técnicas matemáticas para su manipulación son de amplia disponibilidad y de uso común en las ciencias de la ingeniería. Generalmente la ecuación de flujo se presenta como una componente de un problema de condición de contorno, y por ello en la última parte de esta sección exploraremos ese concepto.

Debido a que muchas de las técnicas estándar de análisis de hidrología de aguas subterráneas se basan en problemas con condiciones de contorno que involucraran diferencias parciales, es útil tener un conocimiento básico de esas ecuaciones a medida que se aprenden esas técnicas. Afortunadamente ese no es un requerimiento absolutamente necesario. En la mayoría de los casos, las técnicas pueden ser explicadas sin regresar cada vez a las ecuaciones matemáticas fundamentales. El hidrogeólogo investigador tiene que trabajar con las ecuaciones de flujo a diario, mientras que los hidrogeólogos practicantes no necesitan usarlas si así lo desean.

Flujo Saturado en Estado Estacionario

Considere una unidad de volumen de medio poroso tal como se ilustra en la Figura 2.24. Esta unidad se denomina frecuentemente como volumen de control elemental.

Figura 2.24 Volumen de control elemental para flujo en medio poroso.

La ley de conservación de masa de flujo en estado estacionario en un medio poroso saturado requiere que la tasa de entrada de flujo de fluido al volumen de control elemental sea igual a la tasa de salida. La ecuación de continuidad que representa esta ley en forma matemática, referenciada a la Figura 2.24 se escribe de la siguiente forma

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = 0 (2.67)

Un rápido análisis dimensional de termino ρv mostrará las dimensiones de tasa de flujo de masa a través de una unidad de área transversal del volumen de control elemental. Si el líquido es incompresible, ρ(x, y, z) = constante y las ρ‘s se pueden eliminar de la Ecuación (2.67). Incluso si el fluido es compresible y ρ(x, y, z) ≠ constante, se puede demostrar que los términos de la forma ρ &partial;vx/&partial;x son mucho mayores que los términos de la forma vx &partial;ρ/&partial;x, que ocurren cuando la regla de la cadena se utiliza para expandir la Ecuación (2.67). En cualquier caso, la Ecuación (2.67) simplifica a

-\frac{\partial v_x}{\partial x} -\frac{\partial v_y}{\partial y} -\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 (2.68)

Sustitución de la ley de Darcy para vx, vy, y vz, en la Ecuación (2.68) conduce a la ecuación de flujo para estado estacionario a través de un medio poroso saturado anisotrópico:

\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x \frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(K_y \frac{\partial h}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z \frac{\partial h}{\partial z}\right) = 0 (2.69)

Para un medio isotrópico, Kx = Ky = Kz, y si el medio es homogéneo, entonces K(x, y, z) = constante. Entonces la Ecuación (2.69) se reduce a la ecuación de flujo en estado estacionario a través de un medio homogéneo e isótropo:

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = 0 (2.70)

La Ec. (2.70) es una de las ecuaciones más básicas en derivadas parciales conocidas en matemáticas. Se llama la ecuación de Laplace. La solución de la ecuación es una función h(x, y, z) que describe el valor de la carga hidráulica o carga hidráulica h en cualquier punto en tres dimensiones de flujo. Una solución a la Ecuación (2.70) nos permite producir un mapa de contornos de equipotencial de h y con la adición de líneas de flujo, una red de flujo.

Para flujo en estado estacionario, en un campo bidimensional de flujo saturado, digamos en el plano de xz, el término central de la Ecuación (2.70) caería hacia fuera y la solución sería una función h(x, z).

Flujo saturado en Estado Transitorio

La ley de conservación de masa para el flujo transitorio en un medio poroso saturado requiere que la tasa neta de flujo de masa del fluido en cualquier volumen control elemental sea igual al cambio de almacenamiento de masa del fluido dentro del volumen de control elemental. Con referencia a la Figura 2.24, la ecuación de continuidad toma la forma

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = \frac{\partial(\rho n)}{\partial t} (2.71)

o, al extenderla en el lado derecho,

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = n\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\frac{\partial n}{\partial t} (2.72)

El primer término del lado derecho de la Ecuación (2.72) es el índice de masa de agua producida por una expansión de las aguas por efecto del cambio en su densidad ρ. El segundo término es el índice de masa de agua producida por la compactación del medio poroso, por efecto del cambio en la porosidad n. El primer término es controlado por la compresibilidad del fluido β y el segundo término por la compresibilidad del acuífero α. Ya hemos realizado el análisis (Sección 2.10) que es necesario para simplificar los dos términos a la derecha de la Ecuación (2.72). Sabemos que el cambio en ρ y el cambio en n son producidos por un cambio en h carga hidráulica, y que el volumen de agua producido por los dos mecanismos para un descenso de la unidad en carga hidráulica es Ss, donde Ss, es el almacenamiento específico dado por SS = ρg(α + ). La tasa de masa de agua producida (cambio de masa de fluido del almacenamiento) es ρSS &partial;h/&partial;t, y la Ecuación (2.72) se convierte en

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = \rho S_s\frac{\partial h}{\partial t} (2.73)

Ampliando los términos en el lado izquierdo de la ecuación siguiendo la regla de cadena y reconociendo que términos de la forma ρ &partial;vx/&partial;x son mucho mayores que los términos de la forma xx&partial;ρ/&partial;x nos permite eliminar ρ de ambos lados de la Ecuación (2.73). Insertando la ley de Darcy, obtenemos

\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x \frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(K_y \frac{\partial h}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z \frac{\partial h}{\partial z}\right) = S_s\frac{\partial h}{\partial t} (2.74)

Esta es la ecuación para flujo transitorio a través de un medio poroso anisotrópico saturado. Si el medio es homogéneo e isotrópico, Ec. (2.74) reduce a

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = \frac{S_s}{K}\frac{\partial h}{\partial t} (2.75)

o expandiendo Ss,

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = \frac{\rho g(\alpha+n\beta)}{K}\frac{\partial h}{\partial t} (2.76)

Ec. (2.76) es conocida como la ecuación de difusión. La solución h(x, y, z, t) describe el valor de la carga hidráulica en cualquier punto de un campo de flujo en cualquier momento. Una solución requiere conocimiento de los tres parámetros hidrogeológicos básicos, K, α, y n, y los parámetros del fluido, ρ y β.

Para el caso especial de un acuífero confinado horizontal de espesor b, S = Ssb y T= Kb, y la forma bidimensional de la Ecuación (2.75) se convierte en

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2}  = \frac{S}{T}\frac{\partial h}{\partial t} (2.77)

La solución h(x, y, t) describe el campo de nivel hidráulico en cualquier punto sobre un plano horizontal a través del acuífero horizontal en cualquier momento. La solución requiere conocimiento de los parámetros del acuífero S y T.

La ecuación de flujo para flujo transitorio, saturado [en cualquiera de las formas dadas por Ecs. (2.74) a través (2.77)] se basa en la ley de flujo establecido por Darcy (1856), en la clarificación de la tensión potencial de Hubbert (1940) y en el reconocimiento de los conceptos de elasticidad de acuífero por Meinzer (1923) y el esfuerzo eficaz de Terzaghi (1925). El primer desarrollo clásico fue adelantado por Jacob (1940) y puede encontrarse en su forma más completa en Jacob (1950). El desarrollo presentado en esta sección, junto con los conceptos de almacenamiento de información de las secciones anteriores, es esencialmente de Jacob.

En los últimos años ha habido una considerable revaluación del desarrollo clásico. Biot (1955) reconoció que en los acuíferos de compactación es necesario emitir la ley de Darcy en términos de una velocidad relativa del fluido a los granos, y Cooper (1966) señala la inconsistencia de tener un volumen de control elemental fijo en un medio de deformación. Cooper demostró que el desarrollo clásico de Jacob es correcto si uno considera la velocidad como relativa y el sistema de coordenadas como deformación. También demostró que el intento de De Wiest (1966) de abordar este problema (que también aparece en Davis y De Wiest, 1966) es incorrecto. El Apéndice II contiene una presentación más rigurosa del desarrollo Jacob-Cooper que ha sido tratado aquí.

El desarrollo clásico, a través del uso del concepto de compresibilidad vertical del acuífero, supone que las tensiones y deformaciones en un acuífero que se compacta ocurren solamente en la dirección vertical. El enfoque acopla un campo tridimensional de flujo y un campo de esfuerzo unidimensional. El enfoque más general, que acopla un campo de flujo tridimensional y un campo de tensión tridimensional, fue considerado primero por Biot (1941, 1955). Verruijt (1969) ofrece un resumen elegante del enfoque.

Para casi todos los fines prácticos no es necesario tener en cuenta las velocidades relativas, coordenadas de deformación o campos de esfuerzos tridimensionales. Las ecuaciones clásicas del flujo presentadas en esta sección son suficientes.

Flujo Insaturado Transitorio

Definamos el grado de saturación de θ’ como θ’ = θ/n, donde θ es el contenido humedad y n es la porosidad. Para el flujo en un volumen de control elemental que puede ser sólo parcialmente saturado, la ecuación de continuidad debe revelar la tasa de tiempo de cambio de humedad así como la tasa de tiempo de cambio de almacenamiento debido a la expansión del agua y la compactación del acuífero. El término de ρn en la Ecuación (2.71) debe convertirse en ρnθ’, y la Ecuación (2.72) se convierte en

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = n\theta' \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\theta' \frac{\partial n}{\partial t} + n\rho \frac{\partial \theta '}{\partial t} (2.78)

Para flujo no saturado, los dos primeros términos del lado derecho de la Ecuación (2.78) son mucho menores que el tercer término. Descartando estos dos términos, cancelando la ρ‘s de ambos lados de la forma habitual, introduciendo la forma insaturada de la ley de Darcy [Ec. (2.41)] y reconociendo que n dθ’ = , conduce a

\frac{\partial}{\partial x}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial y}\right] + \frac{\partial}{\partial z}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial z}\right] = \frac{\partial \theta}{\partial t}
(2.79)

Esta suele poner Ec. (2.79) en una forma donde la variable independiente es θ o ψ. Para este último caso es necesario multiplicar arriba y abajo del lado derecho por &partial;ψ. Entonces, recordando la definición de la capacidad de humedad específica C [Ec. (2.65)] y teniendo en cuenta que h = ψ + z, obtenemos

\frac{\partial}{\partial x}\left[K(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[K(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial y}\right] + \frac{\partial}{\partial z}\left[K(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial z}+1\right] = C(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial t} (2.80)

Ec. (2.80) es la ecuación basada en ψ del flujo para flujo transitorio a través de un medio poroso insaturado. A menudo se llama ecuación de Richards, en honor al físico de suelo que la desarrolló primero (Richards, 1931). La solución ψ(x, y, z, t) describe la carga hidráulica de presión en cualquier punto de un campo de flujo en cualquier momento. Se puede convertir fácilmente en una solución de carga hidráulica h(x, y, z, t) a través de la relación h = ψ + z. La solución requiere conocimiento de la característica de las curvas K(ψ) y C(ψ) o θ(ψ).

El acoplamiento de la ecuación de flujo insaturado [Ec. (2.80)] y la ecuación de flujo saturado [Ec. (2.74)] se ha intentado por Freeze (1971a) y Narasimhan (1975). Mejoras en la teoría que subyace los sistemas insaturados-saturados deben esperar a una mejor comprensión del principio del esfuerzo efectivo en la zona insaturada.

Problemas de Condiciones de Contorno

Un problema de condición de contorno es un modelo matemático. La técnica de análisis inferido por este último término es un proceso de cuatro pasos, a saber (1) examen del problema físico, (2) la sustitución del problema físico por su problema equivalente matemático, (3) solución del problema matemático con técnicas aceptadas de las matemáticas y (4) interpretación de los resultados matemáticos en términos de problema físico. Modelos matemáticos basados en la física del flujo suelen tomar la forma de problemas de condición de contorno de tipos desarrollados por expertos de la teoría del campo potencial, y como aplicaciónes en física a problemas tales como la conducción de calor en sólidos (Carslaw y Jaeger, 1959).

Para definir completamente un problema transitorio de condición de contorno de flujo subsuperficial, uno tiene que saber (1) el tamaño y la forma de la región de flujo, (2) la ecuación de flujo dentro de la región, (3) las condiciones de contorno alrededor de los límites de la región, (4) las condiciones iniciales de la región, (5) la distribución espacial de los parámetros hidrogeológicos que controlan el flujo y (6) un método matemático de solución. Si el problema de condición de contorno es en estado estacionario, se elimina el requisito (4).

Considere el problema de flujo de agua subterránea simple mostrado en la Figura 2.25 (a). La región ABCD contiene un medio poroso homogéneo, isotrópico de conductividad hidráulica K1. Los límites de AB y CD son impermeables; las cargas hidráulicas en AD y BC son h0 y h1, respectivamente. Suponiendo flujo constante y definiendo h0 = 100 m y h1 = 0 m, podemos ver por la inspección que la carga hidráulica en el punto E será 50 m. Aparentemente, hemos hecho un uso implícito de propiedades (1), (3) y (5) de la lista de arriba; nuestro método de solución (6) fue el de inspección. No es claro que necesitábamos conocer de la ecuación de flujo dentro de la región. Si pasamos a un problema más difícil como el que se muestra en la Figura 2.25 (b) (una presa que descansa sobre una base inclinada), el valor de la carga hidráulica en el punto F no se deduce fácilmente. Aquí tendríamos que invocar un método matemático de solución, y requeriría que supiésemos la ecuación de flujo.

Figura 2.25 Dos problemas de condición de contorno en estado estacionario en el plano xy.

Los métodos de solución se pueden categorizar en forma general en cinco enfoques: (1) solución por inspección, (2) solución mediante técnicas gráficas, (3) solución por medio de un modelo análogo, (4) solución por métodos matemáticos analíticos y (5) solución mediante técnicas matemáticas numéricas. Hemos visto un ejemplo de solución por la inspección. Los métodos de construcción de la red de flujo presentado en el Capítulo 5 pueden verse como solución gráfica para problemas de valor límite. Modelos analógicos eléctricos se discuten en las Secciones 5.2 y 8.9. Las soluciones numéricas son la base de técnicas de simulación por medio de una computadora moderna como se describe en las Secciones 5.3 y 8.8.

El enfoque más sencillo para la solución de problemas de condiciones de contorno es el de soluciones analíticas. Muchas de las técnicas estándar de aguas subterráneas presentadas más adelante en el texto se basan en soluciones analíticas, por lo que es pertinente examinar un ejemplo sencillo. Consideremos, una vez más, el problema del valor límite de la Figura 2.25 (a). La solución analítica es

h(x, y) = h_0 - (h_0 - h_1) \frac{x}{x_L}
(2.81)

Esta es la ecuación de un conjunto de líneas equipotenciales que atraviesan el campo ABCD paralelo a los límites AD y BC. Puesto que las equipotenciales son paralelas al eje de y, esta no es una función de y, y y no aparece en el lado derecho del Ec. (2.81). En el punto E, x/xL = 0.5 y si h0 = 100 m y h1 = 0 m como antes, entonces hE de la Ecuación (2.81) es 50 m, como se podría esperar. En el Apéndice III, se utiliza la técnica de separación de variables para obtener la solución analítica Ec. (2.81) y se muestra que la solución satisface la ecuación de flujo y las condiciones de contorno.

2.12 Limitaciones del Enfoque Darciano

La Ley de Darcy proporciona una descripción exacta del flujo de agua subterránea en casi todos los ambientes hidrogeológicos. En general, la ley de Darcy es válida para (1) el flujo saturado y insaturado, (2) flujo en estado estacionario y flujo en estado transitorio, (3) para el flujo en los acuíferos y en acuitardos, (4) flujo en sistemas homogéneos y en sistemas heterogéneos, (5) flujo en medios isotrópicos y en medios anisotrópicos y (6) flujos en las rocas y medios granulares. En este texto, asumiremos que la ley de Darcy es una base válida para nuestro análisis cuantitativo.

A pesar de que el ámbito de validez de la Ley de Darcy es amplio, o tal vez por ello, es importante que examinemos las limitaciones teóricas y prácticas del enfoque Darciano. Es necesario buscar a los supuestos que subyacen a la definición de un continuo; examinar los conceptos de flujo microscópico y macroscópico; investigar los límites superiores e inferiores de la ley de Darcy; y tener en cuenta los problemas especiales asociados con la forma en roca fracturada.

Concepto del Campo Darciano y Volumen Elemental Representativo

En la Sección 2.1, se observó que la definición de la Ley de Darcy requiere el reemplazo del actual conjunto de granos que forman parte de un medio poroso por un campo representativo. Se indicó que este enfoque de campo se lleva a cabo a escala macroscópica en lugar de una escala microscópica. Si la Ley de Darcy es una ley macroscópica, debe haber un límite para el tamaño de un elemento de medios porosos en los que la ley es válida. Hubbert (1940) ha abordado este problema. Él definió el término macroscópico con la ayuda de la Figura 2.26. Este esquema es un diagrama hipotético de la porosidad de un medio poroso como puede medirse en muestras de aumento de volumen V1, V2, . . . , tomada en un punto P dentro de un medio poroso.

Figura 2.26 Dominios microscópico y macroscópico y el volumen elemental representativo V3 (tomado de Hubert, 1956 y Bear 1972).

Bear (1972) define el volumen V3 en Figura 2.26 como el volumen elemental representativo, y él señala que es un volumen que debe ser más grande que un solo poro. De hecho, debe incluir un número suficiente de poros para permitir que el promedio estadístico significativo en el enfoque de continuo. Debajo de este volumen no hay ningún valor único que puede representar la porosidad en el P. A lo largo de este texto los valores de compresibilidad, porosidad y conductividad hidráulica se refieren a las medidas que podrían llevarse a cabo en una muestra más grande que el volumen elemental representativo. En un sentido más práctico, se refieren a valores que pueden medirse en los tamaños habituales de muestras de núcleos de suelo. Cuando la escala de análisis incluye volúmenes, como V5 en la Figura 2.26, que puede abarcar más de un estrato en medios heterogéneos, a esa escala se denomina megascopica.

El desarrollo de cada una de las ecuaciones de flujo presentado en la Sección 2.11 incluye el enunciado de la ley de Darcy. Debe reconocerse, entonces, que los métodos de análisis que se basan en problemas de condiciones de contorno que involucran estas ecuaciones se aplican a escala macroscópica, dentro de las condiciones de flujo Darciano. Hay algunos fenómenos de las aguas subterráneas, como el movimiento de un trazador a través de un medio poroso, que no se pueden analizar a esta escala. Por lo tanto, es necesario examinar la interrelación que existe entre la velocidad de Darcy (o descarga específica) definidas para el flujo macroscópico Darciano y las velocidades microscópicas que existen en la fase líquida del medio poroso.

Descarga Específica, Velocidad Macroscópica y Velocidad Microscópica

Nuestro desarrollo será más riguroso si diferenciamos en primer lugar, como ha hecho Bear (1972), la porosidad volumétrica, n, que fue definida en la Sección 2.5, de la: porosidad áreal, nA, que puede definirse para cualquier área sección transversal a través de una unidad de volumen, como nA = Av/AT, donde Av, es el área ocupada por los huecos y AT es el área total. Como sugiere la Figura 2.27 (a), varias secciones transversales dentro de una determinada unidad de volumen pueden exhibir diferentes porosidades areales nA1, nA2, . . . La porosidad volumétrica, n, es el promedio de varias porosidades areales posibles, nAi.

Figura 2.27 Conceptos de (a) porosidad areal y (b) velocidad de flujo lineal promedio.

Para cualquier sección transversal A, la descarga específica, v, se define de la Ecuación (2.1) como

v = \frac{Q}{A}

En que el flujo volumétrico Q se divide por el área transversal total (huecos y sólidos por igual), esta velocidad se identifica como ser pertinente con el enfoque de campo macroscópico. En realidad, el flujo pasa a través de sólo la parte de la superficie transversal ocupada por espacios vacíos. De sección transversal A1 podemos definir una velocidad \bar{v}_1 = Q/n_{A1}A, una que representa el flujo volumétrico dividido por el área transversal real a través del cual se produce el flujo. Para varias las secciones A1, A2, . . . podemos definir \bar{v}_1, \bar{v}_2, . . . . Si indicamos su promedio mediante \bar{v} entonces

\bar{v} = \frac{Q}{nA} = \frac{v}{n} = -\frac{-K}{n}\frac{\partial h}{\partial l}
(2.82)

La velocidad \bar{v} es conocida bajo una gran variedad de nombres. Nos referiremos a ella como la velocidad lineal promedio. En la cual Q, n, y A son términos macroscópicos medibles, y también es \bar{v}. Cabe destacar que el \bar{v} no representa el promedio de la velocidad de las partículas de agua que viajan a través de los espacios de poro. Estas velocidades verdaderas, microscópicas son generalmente más grandes que \bar{v}, porque las partículas de agua deben viajar por caminos irregulares que son más largos que el camino lineal representado por \bar{v}. Esto se muestra esquemáticamente en la Figura 2.27 (b). En verdad, velocidades microscópicas que existen en los canales de poros son rara vez de interés, que es de hecho afortunado, pues son en gran medida indeterminados. Para todas las situaciones que se considerarán en este texto, la velocidad de Darcy v y la \bar{v} velocidad lineal media serán suficiente.

Como base para más explicación de \bar{v}, considere un experimento donde se utiliza un trazador para determinar cuánto tiempo se requiere para la masa de volumen de agua subterránea para mover una distancia corta pero significativa AB a lo largo de una trayectoria del flujo. \bar{v} entonces se define como el cociente de la distancia de recorrido a tiempo, donde la distancia de recorrido se define como la distancia lineal desde A hasta B y el tiempo de viaje es el tiempo requerido para que el trazador viaje desde A hasta B. A la luz de esta conceptualización de \bar{v}, Nelson (1968) ha sugerido una forma ligeramente diferente de la Ecuación (2.82):

\bar{v} = \frac{Q}{\epsilon nA} = \frac{v}{\epsilon n}(2.83)

donde ε es una constante empírica que depende de las características del medio poroso. Datos obtenidos en experimentos de laboratorio por Ellis et al., (1968) utilizando arenas relativamente uniformes indican valores de ε en la gama de 0.98–1.18. Valores de ε para arenas no uniformes y para otros materiales no existen en la actualidad. En estudios de trazadores de agua subterránea y contaminación del agua subterránea el supuesto implícito casi universal es que ε = 1. Para medios granulares probablemente esto representa un bajo error. En medios fracturados el supuesto tiene menos validez.

Límites Superior e Inferior de la Ley de Darcy

Incluso si nos limitamos a la consideración de la descarga específica en una escala macroscópica a través de la continuidad de Darcy, puede haber limitaciones en la aplicabilidad de la ley de Darcy. La Ley de Darcy es una ley lineal. Si fuese universalmente válido, una parcela de la específica descarga v versus el gradiente hidráulico dh/dl revelaría una relación lineal de los gradientes entre 0 e \infty. Para flujo a través de materiales granulares hay al menos dos situaciones donde está en cuestión la validez de esta relación lineal. La primera se refiere refiere a flujo que atraviesa sedimentos de baja permeabilidad bajo gradientes muy baja y el segundo refiere a grandes flujos con sedimentos de muy alta permeabilidad. En otras palabras, puede haber un límite inferior y un límite superior a la gama de la validez de la ley de Darcy. Se ha sugerido que podría ser una forma más general de la ley de flujo de medios porosos

v = -K\left(\frac{dh}{dl}\right)^m(2.84)

Si m = 1, como en todas las situaciones comunes, la ley de flujo es lineal y se llama ley de Darcy; Si m ≠ 1, la ley de flujo no es lineal y no debería llamarse ley de Darcy.

Para materiales de grano fino de baja permeabilidad, se ha sugerido en base a pruebas de laboratorio que puede existir un gradiente hidráulico de umbral por debajo del cual el flujo no tiene lugar. Swartzendruber (1962) y Bolt y Groene-velt (1969) examinan las pruebas y resumen las diversas hipótesis que se han propuesto para explicar el fenómeno. Aún no hay acuerdo sobre el mecanismo y la evidencia experimental está todavía abierta a alguna duda. En cualquier caso, el fenómeno es de muy poca importancia práctica; en los gradientes como gradientes de umbral posible, las tasas de flujo serán excesivamente pequeñas, en cualquier caso.

De mayor importancia práctica es el límite superior de la gama de la validez de la ley de Darcy. Ha sido reconocido y aceptado por muchos años (Rosa, 1945; Hubbert, 1956) que, en muy altas tasas de flujo, la Ley de Darcy se descompone. La evidencia es revisada en detalle por Todd (1959) y Bear (1972). El límite superior se suele identificar con la ayuda de la re número de Reynolds Re, un número adimensional que expresa el cociente de inercia a las fuerzas viscosas durante el flujo. Es ampliamente utilizado en mecánica de fluidos para distinguir entre laminar a bajas velocidades y flujo turbulento a velocidades altas. El número de Reynolds para el flujo a través de medios porosos se define como

R_e = \frac{\rho vd}{\mu}(2.85)

donde ρ y μ son la densidad del fluido y la viscosidad, v la descarga específica y d una dimensión longitud representativa para el medio poroso, vario tomada diversamente como una dimensión de poro medio, un diámetro de grano medio o alguna función de la raíz cuadrada de la permeabilidad k. Bear (1972) resume la evidencia experimental con la afirmación de que “la ley de Darcy es válida siempre y cuando el número de Reynolds basado en el diámetro de grano promedio no exceda cierto valor entre 1 y 10” (p. 126). Por este número del rango de Reynolds, todo flujo a través de medios granulares es laminar.

Caudales que exceden el límite de la ley de Darcy son comunes en formaciones importantes tales como rocas volcánicas, calizas kársticas y dolomitas. Los flujos Darcianos casi nunca son superados en rocas no consolidadas y materiales granulares. Las rocas fracturadas (y vamos a utilizar este término para referirnos a rocas con permeabilidad a través de diaclasas, fisuras, grietas, o separaciones de cualquier origen genético) constituyen un caso especial que merece atención.

Flujo en Rocas Fracturadas

El análisis de flujo en rocas fracturadas puede llevarse a cabo con el enfoque continuo que se ha destacado hasta ahora en este texto o con un enfoque discontinuo basado en el sistema hidráulico de flujo en fracturas individuales. Como con medios porosos granulares, el enfoque continuo implica la sustitución del medio fracturado por uno continuo representativo espacialmente definido por valores asignados de conductividad hidráulica, porosidad, y compresibilidad. Esta aproximación es válida siempre y cuando el espacio de la fractura es lo suficientemente denso así que los medios fracturados actúan de manera similar hidráulicamente a los medios porosos granulares. La conceptualización es la misma, aunque el volumen elemental representativo es considerablemente mayor en medios fracturados que medios granulares. Si los espaciamientos entre las fracturas son irregulares en una dirección dada, los medios de comunicación expondrán tendencias de heterogeneidad. Si los espaciamientos de fractura son diferentes en una sola dirección, el medio presentará una anisotropía. Snow (1968, 1969) demostró que muchos problemas de medio fracturado pueden resolverse utilizando técnicas estándar de medio poroso utilizando la ley de Darcy y un tensor de conductividad anisotrópica.

Si la densidad de fractura es muy baja, puede ser necesario analizar el flujo en fisuras individuales. Este enfoque se ha utilizado en aplicaciones geotécnicas donde el análisis de mecánica de rocas indica que las pendientes o aperturas en la roca pueden fallar sobre la base de presiones de fluido que aumenta en fracturas críticas individuales. Los métodos de análisis se basan en los principios de la mecánica de fluidos generalmente plasmados en las ecuaciones de Navier-Stokes. Estos métodos no se discutirán aquí. Wittke (1973) proporciona una revisión introductoria.

Incluso si nos limitamos al enfoque continuo hay otros dos problemas que deben ser abordados en el análisis del flujo a través de roca fracturada. El primero es el flujo no-Darciano en las fracturas de roca de apertura amplia. Sharp y Maini (1972) presentan datos de laboratorio que apoyan una ley de flujo no lineal para rocas fracturadas. Wittke (1973) sugiere separar las leyes de flujo para un rango lineal-laminar (rango de Darcy ), un rango laminar no lineal y un rango turbulento. La Figura 2.28 pone estos conceptos en el contexto de una curva esquemática de la descarga específica vs. el gradiente hidráulico. En las fracturas de la roca, las descargas específicas y los números de Reynolds son altos, los gradientes hidráulicos son generalmente menores que 1, y el exponente m en la Ecuación (2.84) es mayor que 1. Estas condiciones llevan a una deflexión en la curva de la Figura 2.28.

Figura 2.28 Rango de validez de la Ley de Darcy.

El segundo problema se refiere a la interacción del campo tridimensional de la tensión y el campo tridimensional de flujo de fluidos en la roca. El requisito teórico general para el acoplamiento de estos dos campos se discutió brevemente en la Sección 2.11, y allí se hizo referencia a la obra clásica de Biot (1941, 1955) para el flujo a través de medios porosos. Para roca fracturada, sin embargo, hay otra complicación. Debido a que la porosidad de la roca fracturada es muy baja, las expansiones y contracciones de las aberturas de la fractura que se producen bajo la influencia de los cambios en el estrés afectan los valores de conductividad hidráulica, K. La interacción entre la presión de fluido p(x, y, z, t), o la carga hidráulica h(x, y, z, t) y la tensión eficaz σe(x, y, z, t) se complica aún más por el hecho de que K debe ser representada por una función, K(se). El análisis de estos sistemas, y la determinación experimental de la naturaleza de la función K(se), es un tema permanente de investigación en los campos de la hidrología de la mecánica de rocas y la hidrología de aguas subterráneas.

Muchos de los investigadores involucrados en la aplicación de la teoría de las aguas subterráneas en mecánica de rocas han propuesto fórmulas que relacionan la porosidad nf de fractura y la conductividad hidráulica K de rocas diaclasadas con la geometría de las diaclasas. Snow (1968) nota que, para un arreglo paralelo de diaclasas planas de apertura, b, con N diaclasas por unidad de distancia transversal de la cara de la roca, nf = Nb, y

K = \left(\frac{\rho g}{\mu}\right) \left(\frac{Nb^3}{12}\right)(2.86)

k = \frac{Nb^3}{12}(2.87)

donde k es la permeabilidad de la roca. N y b tienen dimensiones de 1/L y L, respectivamente, así que k tiene unidades de L2, como debería. Ec. (2.86) se basa en la hidrodinámica del flujo en un sistema de diaclasas planas. Es en el lineal – gama laminar donde la ley de Darcy es válida. Debe ser aplicado a un bloque de roca de tamaño suficiente que el bloque actúa como un campo de flujo Darciano. Una permeabilidad k, calculada con la Ecuación (2.87), se puede considerar como la permeabilidad equivalente a la de un medio poroso; uno que actúa hidráulicamente como una roca fracturada.

Snow (1968) establece que un sistema cúbico de fracturas crea un sistema isotrópico con una porosidad nf = 3Nb y una permeabilidad dos veces mayor que la permeabilidad de alguno de las diaclasas conectadas a este; es decir, k = Nb3/6. Snow (1969) también proporciona relaciones predictivas entre porosidad y el tensor de permeabilidad anisotrópica para geometrías tridimensionales de diaclasas, en que los espaciamientos de las fracturas o aperturas varían con la dirección. Sharp y Maini (1972) proporcionan más discusión de las propiedades hidráulicas de las rocas diaclasadas anisotrópicas.

2.13 Dispersión Hidrodinámica

Se está convirtiendo en cada vez más común, en la investigación de sistemas de flujo de aguas subterráneas, ver el régimen de flujo en términos de su capacidad de transporte disuelto de sustancias conocidas como solutos. Estos solutos pueden ser constituyentes naturales, trazadores artificiales o contaminantes. El proceso por el cual los solutos son transportados por el movimiento del agua subterránea se conoce como advección. Por efecto de la advección, solutos no reactivos son llevados a una tasa promedio igual a la velocidad lineal promedio, \bar{v}, del agua. Hay una tendencia, sin embargo, a que el soluto se extienda hacia afuera de la ruta que se espera que siga según la hidráulica del sistema de flujo advectivo. Este fenómeno de extensión se denomina dispersión hidrodinámica. Esta causa dilución del soluto. Se produce por mezcla mecánica en el advección del fluido y por efecto de la difusión molecular debido a la energía cinética térmica de las partículas de soluto. Difusión, que es un proceso de dispersión de importancia solamente a bajas velocidades, se describe en la Sección 3.4. El énfasis en la discusión actual está en la dispersión que es causada por el movimiento del fluido. Este se conoce como dispersión mecánica (o dispersión hidráulica). La Figura 2.29 se muestra un ejemplo esquemático de los resultados de este proceso de dispersión en un medio homogéneo y granular.

La dispersión mecánica es más fácilmente vista como un proceso microscópico. A la escala microscópica, la dispersión es causada por tres mecanismos (Figura 2.30). El primero ocurre en los canales de los poros porque las moléculas viajan a diferentes velocidades en diferentes puntos a través del canal debido a la fricción ejercida sobre el fluido por la rugosidad de las superficies de poro. El segundo proceso es causado por la diferencia de tamaños de poros a lo largo de las trayectorias de flujo seguidas por las moléculas de agua. Debido a diferencias en la superficie y rugosidad en relación con el volumen de agua en canales individuales de poro, diferentes canales porales tienen velocidades del fluido diferentes.

Figura 2.29 Representación esquemática del proceso de dilución causado por la dispersión mecánica en medios porosos granulares.
Figura 2.30 Procesos de dispersión a escala microscópica.

El tercer proceso dispersivo se relaciona con la tortuosidad, ramificación, e interdigitación de los canales de poros. La difusión del soluto en la dirección del flujo general se conoce como dispersión longitudinal. La extensión en dirección perpendicular al flujo se llama dispersión transversal. La dispersión longitudinal es normalmente mucho más fuerte que la dispersión lateral.

La dispersión es un proceso de mezcla. Cualitativamente, tiene un efecto similar a las turbulencias en los regímenes de agua superficial. Para medios porosos, los conceptos de velocidad lineal promedia y dispersión longitudinal están estrechamente relacionados. Dispersión longitudinal es el proceso por el cual algunas de las moléculas de agua y las moléculas de soluto viajan más rápidamente que la velocidad lineal promedio y algunos viajan más lentamente. El soluto por lo tanto se extiende en la dirección del flujo y disminuye de concentración.

Cuando un experimento de un trazador se configura en el laboratorio, la única dispersión que se puede medir es la que es observable a escala macroscópica. Se supone que este resultado macroscópico ha sido producido por los procesos microscópicos descritos anteriormente. Algunos investigadores creen que las heterogeneidades en la escala macroscópica pueden causar dispersión adicional a la causada por los procesos microscópicos. El concepto de dispersión macroscópico no está bien entendido todavía. Los procesos dispersivos son descritos en mas detalle en el Capítulo 9.